マークのない定規とコンパス。この 2 つの道具だけを使って、ギリシャ人は中点、垂線、平行線を極めて正確に作成しました。

発見者

古典的な構造は、ユークリッド の 原論 (紀元前 300 頃) の 垂直二等分線 と中間点 (命題 I.10) の 角の二等分線 にあります。 (I.9)、1 点による垂直(I.11およびI.12)、1 点による平行(I.31)。マークのない定規とコンパスのみを使用するというルールは、ユークリッドの最初の 3 つの公準から来ています。つまり、2 点を通る直線を引き、それを延長し、任意の中心と半径の円を描きます。

歴史

ギリシャ人にとって、 建設とは図面の形での実証であり、各段階はすでに証明された結果によって正当化される必要がありました。だからこそ、目盛り付き定規には価値がなかったのです。測定は概算であり、構築は保証です。

2,000 年以上にわたってこれらのツールに抵抗してきた 3 つの有名な問題は、あらゆる角を 3 等分すること、別の体積の 2 倍の立方体を構築すること、円と同じ面積の正方形を構築することです。 19 世紀、ピエール ヴァンツェル (1837) とフェルディナント フォン リンデマン (1882) は、定規とコンパスだけではこの 3 つが不可能であることを証明しました。

日常生活での応用

  • 大工仕事と金属細工。 ドライポイント コンパスは中心をマークし、ピースを半分に分割し、直角を必要とせずに垂直を描きます。
  • 技術図面。 CAD プログラムや GeoGebra の「垂直二等分線」、「角の二等分線」、および「垂直」ツールは、Euclid の構造を繰り返します。
  • ガーデニング。 2 本の杭と紐を使って、円形の花壇や壁に垂直な線を引くことができます。

4つの構造

各図で、点をドラッグして 1 ステップずつ進めます。本物の定規とコンパスを使って、紙の上で作図を繰り返します。

垂直二等分線 と中点

定義垂直二等分線

線分$\overline{AB}$ の垂直二等分線 は、$\overline{AB}$の中点を通る垂線です。 垂直二等分線 上のすべての点は、$A$ および $B$ から同じ距離にあります。

垂直二等分線 の構築: 点 P と Q は A と B から同じ距離にあります。

なぜ機能するのですか? 円弧の半径は同じなので、$PA = PB$ と $QA = QB$ です。 $A$ と $B$ から同じ距離にある点は 垂直二等分線 を形成します。 $P$と$Q$があるので、直線$PQ$は垂直二等分線になります。

角度の角の二等分線

角の二等分線 の構成: 三角形 OPR と OQR は合同です (LLL の場合)。

なぜ機能するのですか? $OP = OQ$ (最初のアーク) と $PR = QR$ (2 番目のアークのペア)。 $OR$側は共通です。 LLL の場合、三角形 $OPR$ と $OQR$ は合同で、$O$ の角度は等しいです。

線の外側の点に垂直

P を通る垂直: 点 P と E は両方とも C と D から同じ距離にあります。

なぜ機能するのですか? $PC = PD$ と $EC = ED$: $P$ と $E$ は $r$ の線に垂直な $\overline{CD}$ の 垂直二等分線 上にあります。

点による平行

P による平行: CDEP の 4 つの辺は等しいため、CDEP はひし形になります。

なぜ機能するのですか? $CDEP$ の 4 つの辺は同じ寸法です。これはひし形であり、すべてのひし形は平行四辺形です。したがって、$PE$は$CD$、つまり直線$r$と平行になります。

答えを確認してください

45°: 垂線 (90°) を作成し、次にこの直角の 角の二等分線 を作成します。 60°: 乾いた先端を A に、開口部 AB で円弧を描きます。 B のドライエンドで繰り返します。 合流点 C は 正三角形 ABC を形成し、その角度は 60° になります。これはまさに最初の命題です。 要素.

正しいか、誤りか？

  1. AB の 垂直二等分線 上のすべての点は、A および B から同じ距離にあります。
  2. 定規とコンパスがあれば、あらゆる角度を 3 等分することができます。
  3. 直角の角の二等分線は2つの45°の角度を形成します。
  4. ギリシャの建造物では、定規にセンチメートルのマークが付いていることがあります。

出典: Elements、book I (D. Joyce) · Wantzel (MacTutor) · Lindemann (MacTutor)。