Euler's Eyes
2022-10-15
複利とオイラー数
ジョン・ネイピアは金融分野への応用において非常に重要であったため、レオンハルト・オイラーがこの分野に挑戦する動機となった。無理数の一つ 金融分野への応用で最も重要なのは、これら 2 人の数学者のおかげです。
複利
複利と $e$ という数字の歴史は、(1654-1705) の間のジャック ベルヌーイのおかげでした。彼は、複利手法を使用してローンの利息の最大値を発見することに興味を持ちました。
初期値から蓄積された利息を元に、いかに利得を最大化するかを研究することに専念した。
単利で R$ 1 の資本を受け取り、1 年の終わりに 100% の利息を付けるとします。
この場合、年末には 2 レアルを獲得します。
ただし、1 年の代わりに、金利は同じ期間に引き上げられた期間の逆数に比例します。この場合、彼は月ごとの複利 (12 月 = 1 年) を提案します。
もう一度この人は、金利が 1 日あたり複利になることを提案します (365 日 = 1 年)。
最初の提案よりも 0.71 セント多く稼ぐのはあまり有利とは思えません。ただし、資本金が 100 レアルだった場合、71 レアルの方が有利になる可能性があります。
ベルヌーイは利子には一定の限界があることに気づき、2.71 がこの要素であると考えられます。 (1707 と 1783) の間の数学者レオンハルト オイラーは、ベルヌーイによって得られた結果に非常に興味を持っていました。この無理数は、当時の数学における最大の革命の 1 つでした。
彼は指数関数を通じてこの数の非合理性を実証し、連分数を使用しました。わかりやすく説明するために、金利制限に到達する方法を段階的に説明します。
年を 1 期間に分割する
最初に次のようにします。
- 資本金 $$C_0=100$$
- 年間利息 J=100 %
- 1 年目の年末 $$C_1=C_0+100=200 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$$
| 期間 | 単利 | 複利 |
|---|---|---|
| $0$ | $100$ | $100$ |
| $1$ | $100 \left(1+\frac{100}{100}~.~1\right)= 200\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{100}{100}\right)^1=200$ |
1 年を 2 期間に分割する
最初に次のようにします。
- 資本金 $$C_0=100$$
- 学期中の利息 J = 50 %
- 1学期の終わり $$C_1=C_0+50=150 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^1=1.5$$
- 二学期の終わり $$C_2=C_1+75=225 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2.25$$
| 期間 | 単利 | 複利 |
|---|---|---|
| 0 | $100$ | $100$ |
| 1 | $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)= 150\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^1=150$ |
| 2 | $100~.~\left(1+\frac{50}{100}~.~2\right)= 200\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{50}{100}\right)^2=225$ |
1 年を 3 期間に分割する
最初に次のようにします。
- 資本金 $$C_0=100$$
- 四半期の利息 J = 25 %
- 第 1 四半期の終わり $$C_1=C_0+25=125 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^1=1.25$$
- 第 2 四半期の終わり $$C_2=C_1+31.25=156.25 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^2=1.5625$$
- 第 3 四半期の終わり $$C_3=C_2+39.06=195.31 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^3=1.9531$$
- 第 4 四半期の終わり $$C_4=C_3+48.83=244.14 \quad \Rightarrow \quad \left(1+\frac{1}{4}\right)^4=2.4414$$
| 期間 | 単利 | 複利 |
|---|---|---|
| 0 | $100$ | $100$ |
| 1 | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)= 125\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^1=125$ |
| 2 | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~2\right)= 150\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^2=156.25$ |
| 3 | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~3\right)= 175\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^3=195.31$ |
| 4 | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}~.~4\right)= 200\quad$ | $100~.~\left(1+\frac{25}{100}\right)^4=244.1406$ |
一年をn個の期間に分割する
n 番目の期間の修正資本は次の式で求められます。
n期間の制限
たとえ n 個の期間であっても、制限が必要であることはわかっています。レオンハルト・オイラーはこれに気づき、普遍定数を定義し、それを彼が呼びました
e オイラーによるものですが、ジョン ネーピアにちなんで命名されました。このために、次のようにします。
以下の点に留意してください。
したがって、より一般的には次のようになります。
オイラー数
当番の大学生は微積分 I でこの結果を認識できます。
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$
オイラーは級数にも拡張されました。
$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2~.~1} + \frac{1}{3~.~2~.~1} + \frac{1}{4~.~3~.~2~.~1} + \frac{1}{5~.~4~.~3~.~2~.~1} + \dots$$
簡単に言うと、
$$\text{Euler Napier}\qquad \left(1+\frac{1}{\infty}\right)^\infty = e$$
オイラーは複素数に対する単なる好奇心からこの関係を発見しました。
これまでのところ、複利について説明できます。次の投稿をお待ちください。