側面から特別な寸法を取得します

辺 $a,b,c$、面積 $K$、半周 $s=(a+b+c)/2$ を考えてみましょう。縮退していない三角形、つまり正の辺があり、各辺が他の 2 つの合計より小さいことが必要です。

ヘロンの公式を実証する

余弦の法則より、$\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$。 $K=bc\sin A/2$ では、$\sin^2A=1-\cos^2A$ を使用します。

$$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$

面積は正であるため、次のようになります。

$$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$

ハイツ

$K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$として:

$$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$

Heron の式を代入すると、各高さが側面のみの関数として得られます。 $h_a=b\sin C=c\sin B$ とその順列も有効です。

中央値

中央値 $m_a$ は、A と BC の中点を接続します。 $(-a/2,0)$と$(a/2,0)$に基端を配置し、$(u,v)$にAを配置します。端点に二乗距離を追加すると、次のようになります。

$$b^2+c^2=2(u^2+v^2)+\frac{a^2}{2}.$$

$m_a^2=u^2+v^2$ として、次の結果が得られます。

$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}.$$

インデックスを入れ替えると $m_b$ と $m_c$ になります。

角の二等分線 内部

A の 角の二等分線 は D の BC と出会い、角度を 2 等分します。 ABD と ACD の面積は、直線 BC に対して同じ高さを持ち、$A/2$ の正弦を使用して計算できるため、比率は $c:b$ になります。ロゴ：

$$BD=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.$$

角の二等分線 $t_a=AD$ の辺によって計算される面積の合計は次のようになります。

$$K=\frac{(b+c)t_a\sin(A/2)}{2}.$$

$K=bc\sin A/2$ との比較と $\sin A=2\sin(A/2)\cos(A/2)$ の使用:

$$t_a=\frac{2bc\cos(A/2)}{b+c} =\frac{2\sqrt{bc\,s(s-a)}}{b+c}.$$

2 番目の形式は、余弦の法則によって得られる $\cos^2(A/2)=s(s-a)/(bc)$ から生じます。すべての根は正です。文字を入れ替えて残り 角の二等分線 を取得します。

内接円と外接円

内心は各辺の距離$r$です。この三角形を、この中心を頂点とする 3 つの三角形に分割すると、次のようになります。

$$K=\frac{ar+br+cr}{2}=sr.$$

このような：

$$r=\frac Ks=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}s}.$$

頂点から 2 つの接点に引かれた接線の長さは等しいです。頂点 A に関連付けられたセクションのサイズは $s-a$ です。 内心 で形成される直角三角形の場合:

$$r=(s-a)\tan\frac A2.$$

サインの法則と前のクラスの面積式を使用します。

$$R=\frac{abc}{4K}.$$

例：面5、5、6

我々は持っています $s=8$ そして $K=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12$。ベース用 $a=6$、 と $b=c=5$:

$$h_a=4,\quad m_a=4,\quad t_a=4,\quad r=\frac32,\quad R=\frac{25}{8}.$$

三角形は二等辺であるため、高さ、中央値、角の二等分線 はこの方向に一致します。一般に、これらは異なるセグメントです。

日常生活での応用

  • 巻尺を使用した面積。 土地の側面のみを測定すると (13、14、15 m)、ヘロンの公式では 84 m² が得られます。
  • 庭の噴水 三角形の花壇に収まる最大の円形の噴水の半径は内接半径$r = \frac{S}{p}$です。
  • 平衡。 均一な厚さの三角形の板が、中央値が交わる 重心 の位置で鉛筆の先端でバランスをとります。
サギ、三角形の地形の内接光線と外接光線。

決意を持って練習する

1. 三角形の辺は 13、14、15 cm です。面積と内接半径を計算します。

解像度確認1

$s=21$ cm および $K=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84$ cm²。次に$r=84/21=4$cmです。

2. 同じ辺で、14 cm の辺に対する高さと中央値を計算します。

解像度確認2

$h=2\cdot84/14=12$cm。中央値は $m=\tfrac12\sqrt{2\cdot13^2+2\cdot15^2-14^2}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$ cm です。

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