Euler's Eyes
2026-10-14
平均曲率：曲面はどれだけ曲がっているか
振動する板の方程式を書くために、ソフィー・ジェルマンはかんたんそうに聞こえる問いに答えなければなりませんでした。曲面はある点でどれだけ曲がっているのか。彼女の答え、平均曲率は、今もシャボン玉、細胞膜、飛行機の外板を調べるのに使われています。
曲線の曲率
線から始めましょう。直線は曲がらないので、その曲率はゼロだといいます。円はどの点でも同じだけ曲がっていて、小さい円ほどよく曲がります。そこで半径 $R$ の円の曲率を
$$\kappa=\frac1R$$と定めます。半径 1 cm の円の曲率は 1、半径 1 m の円なら 1 cm あたり $0.01$ です。一般の曲線では、各点でそこにいちばんよく合う円、接触円をとり、その半径の逆数を曲率とします。
曲面にはたくさんの曲率がある
曲面になると話はややこしくなります。缶の側面の一点を考えてみましょう。缶にそって縦に歩けば、道はまっすぐで曲率はゼロ。缶のまわりを歩けば、道は半径 $r$ の円で曲率は $\frac1r$。そのあいだの向きでは、あいだの値になります。
1760 年、オイラーはこれがいつも規則正しく起こることを示しました。各点に、曲率が最大になる向き $\kappa_1$ と最小になる向き $\kappa_2$ があり、二つはたがいに垂直です。これが主曲率です。一つめの向きと角 $\theta$ をなす向きの曲率は
$$\kappa(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$$です。
ソフィー・ジェルマンの考え
ソフィー・ジェルマンには、板が曲げにどれだけ抵抗するかを表す一つの数が必要でした。彼女の仮説は、二つの主曲率を足すことでした。今日ではその和の半分を使い、平均曲率と呼びます。
$$H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}.$$この名前は正確です。$\kappa(\theta)$ をすべての向きについて平均すると、$\cos^2\theta$ と $\sin^2\theta$ の一周での平均はどちらも $\frac12$ なので、結果はちょうど $\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}$ になります。平均曲率とは、すべての向きの曲率の平均なのです。
- 半径 $r$ の球面：二つの曲率はどちらも $\frac1r$ で、$H=\frac1r$。
- 半径 $r$ の円柱面：一つの曲率が $\frac1r$、もう一つが $0$ で、$H=\frac1{2r}$。
- 鞍形の面：一方の向きでは上がり、もう一方では下がるので、二つの曲率は符号が逆になり、中心で $H=0$。
ジェルマンとガウス：和と積
1827 年、ソフィーの文通相手だったガウスは、同じ二つの曲率の別の組み合わせ、積 $K=\kappa_1\kappa_2$ を研究しました。今日ガウス曲率と呼ばれるものです。二つの数は別々のことを語っています。
ガウスの積は、曲面を伸ばさずに曲げても変わらないものをはかります。円柱面は紙と同じく $K=0$ で、実際に一枚の紙をしわなしに丸めてつくれます。球面は $K=\frac1{r^2}$ で、だから完ぺきな世界地図はありません。
ジェルマンの和は、エネルギーがかかるものをはかります。広げて平らにできるかどうかにかかわらず、曲面がどれだけ曲がっているかです。だからそれは弾性理論や膜に現れるのです。
シャボン玉
1805 年、トマス・ヤングとピエール＝シモン・ラプラスは、張力のある曲面の内側の圧力は外側より高く、その差は平均曲率に比例することを発見しました。シャボン玉が丸いのは、決まった体積に対して、どの点でも平均曲率が同じになる形が球だからです。
そして、針金に張った両側とも空気のシャボン膜では、両面の圧力が同じです。だからその平均曲率はどの点でもゼロです。一方の向きでは片側に、垂直な向きでは反対側に曲がる、鞍のような形です。ベルギーの物理学者ジョゼフ・プラトーは 1873 年に針金とせっけん水でこの極小曲面を研究し、それは幾何学のもっとも豊かなテーマの一つになりました。
練習問題：半径 2 の円柱面と半径 2 の球面について H と K を求めよ
円柱面：$\kappa_1=\frac12$、$\kappa_2=0$ なので $H=\frac14$、$K=0$。球面：$\kappa_1=\kappa_2=\frac12$ なので $H=\frac12$、$K=\frac14$。半径が同じなら、球面の平均曲率は円柱面の 2 倍です。
練習問題：半径 1 cm のシャボン玉の内側は、外より圧力がどれだけ高いか？
シャボン膜には内と外の二つの面があり、それぞれが $\frac{2\gamma}{R}$ を寄与します。$\gamma\approx0.025$ N/m はせっけん水の表面張力です。よって
$$\Delta p=\frac{4\gamma}{R}=\frac{4\cdot0.025}{0.01}=10\ \text{Pa}.$$これは大気圧のおよそ一万分の一です。小さい玉ほど圧力は高くなります。だから二つの玉がふれ合うと、小さいほうが大きいほうへ押しこんでいくのです。
出典： Louis L. Bucciarelli and Nancy Dworsky, Sophie Germain: An Essay in the History of the Theory of Elasticity（1980）· Leonhard Euler, “Recherches sur la courbure des surfaces”（1760）· ソフィー・ジェルマンの伝記、MacTutor。