立方体の 1 つの頂点には 3 つの正方形があり、それらの角度は加算されます。 $3 \times 90° = 270°$。 1 ターンを完了するには $90°$ 個が残っています。 これが頂点の欠陥です。によって 1630 頃、 デカルトは凸多面体においてすべての欠陥の総和が存在することを発見しました。 頂点は常に 720° です。

多面体 頂点の角度 欠陥 頂点 和
四面体 3 × 60° = 180° 180° 4 720°
キューブ 3 × 90° = 270° 90° 8 720°
八面体 4 × 60° = 240° 120° 6 720°
十二面体 3 × 108° = 324° 36° 20 720°
正二十面体 5 × 60° = 300° 60° 12 720°
頂点の周囲の面は、平面内で開いています。赤いスライスは欠陥で、360° を完了するために残された角度です。

その原稿は何世紀にもわたって失われていました。ライプニッツがテキストを 1676 にコピーしたために生き残っただけであり、 コピーは 19 世紀になって初めて発見されました。ここで驚くべきことに、この定理から次の式が得られます。 $V - A + F = 2$、オイラー.

$n$ の辺を持つ面の内角を合計すると $(n - 2) \cdot 180°$ になります。すべての辺を加算すると、 そして、各エッジが 2 つの面の側面であることを思い出してください (したがって、すべての面の $n$ の合計は $2A$ になります)。

$$\text{soma de todos os ângulos das faces} = (2A - 2F) \cdot 180° = (A - F) \cdot 360°.$$

欠陥の合計は、頂点ごとに $360°$ からこの合計を引いたものになります。

$$720° = 360° \cdot V - 360° \cdot (A - F) = 360° \cdot (V - A + F) \;\Longrightarrow\; V - A + F = 2.$$

言い換えれば、デカルトは 1 世紀以上前に、次の式と同等の結果を手にしていたのです。 オイラー。彼は最終的な請求書を書いていないだけです。

十二面体を回転します: 20 個の欠陥頂点がそれぞれ 36°、20 × 36° = 720°。

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