Euler's Eyes
2026-10-11
はじめに: 凸面と半平面
直線は平面を 2 つの側面に分割します。図形は「くぼみ」がない場合に凸になります。 2 つのアイデアは一致します。
発見者
凸型の図形を最初に注意深く定義したのはシラクサのアルキメデス (紀元前 287 ～ 212 頃) で、その著作球と円柱についての中で、彼は「同じ側に凹んだ」曲線を使って周囲を比較しています。直線による平面の分離は、1882 でモリッツ パッシュによって形式化されました。彼の公理は、三角形の一方の側に入る直線は、もう一方の側から出なければならないと述べています。 19 世紀末にヘルマン・ ミンコフスキー は凸性を数学の一分野としました。
歴史
アルキメデスは、円に内接する多角形の周囲がそれ自体よりも小さく、外接された多角形の周囲がより大きいことを証明するという具体的な問題のために凸面性を必要としました。これで、$3\tfrac{10}{71}$ と $3\tfrac{1}{7}$ の間の π の値を囲みました。
パッシュの公理は別の問題を解決します。ユークリッドは、直線が平面を 2 つの側面に分けることを決して証明しませんでした。彼はただ絵を描いて見ただけだった。パッシュ以降、「直線の同じ側にある」ということには、角度の内側を定義するために使用される、半平面という正確な定義が与えられるようになりました。
日常生活での応用
- レンズ。 虫眼鏡や遠視用メガネなどの凸レンズは、光を集中させます。凹型のものはそれを広げます。
- 爪の弾性。 いくつかの爪の周囲にある緩い弾性バンドは、それらを含む最小の凸形、つまりコンピュータ グラフィックスで使用される「凸包」を形成します。
- 通りの両側。 この通りは、近隣を 2 つの半分の平面に分割します。一方の側は偶数、もう一方の側は奇数です。
- 電子ゲーム 凸形状を使用すると衝突の検出がはるかに速くなります。そのため、キャラクターが目に見えない凸型の「ボックス」で囲まれています。
出典: アルキメデス (MacTutor) · パッシュ (MacTutor) · ミンコフスキー (MacTutor)。
理論と作図
凸領域と半平面に関するビデオ レッスンを見て、理論に従ってください。
定義凸領域
ポイントのセット $\Sigma$ そして 凸型 (または凸領域である) 2 つの異なる点がある場合にのみ $A$ そして $B$ の $\Sigma$ セグメントの終端です $\overline{AB}$ に含まれる $\Sigma$、または $\Sigma$ 単一であるか、または $\Sigma$ は空です。
凸でない領域は凹の領域です。
たとえば、直線、平面、線分は凸面です。それらのすべてにおいて、任意の 2 点を結ぶ線分がセット内にあります。 「L」、星、または下弦の月のような形をした領域は凹面です。その中には 2 つの点があり、そのセグメントが領域からはみ出しています。
公準平面上の点の分離の仮定
平面 $\alpha$ からの直線 $r$ は、この平面を次のような 2 つの点のセット $\alpha^{\prime}$ と $\alpha^{\prime\prime}$ に分割します。
- $\alpha^{\prime} \cap \alpha^{\prime\prime} = \varnothing$、両方のセットには $r$ からのポイントは含まれません。
- $\alpha^{\prime}$ と $\alpha^{\prime\prime}$ は凸です。
- $A \in \alpha^{\prime}$ と $B \in \alpha^{\prime\prime}$ の場合、線分 $\overline{AB}$ は直線 $r$ と交差します。
定義デミプレーン
$\alpha^{\prime}$ と $\alpha^{\prime\prime}$ の集合はそれぞれ開いた半平面です。 $r \cup \alpha^{\prime}$ と $r \cup \alpha^{\prime\prime}$ のセットは半平面です。 $r$ の線がそれぞれの原点で、$\alpha^{\prime}$と$\alpha^{\prime\prime}$ が対向する半面です。