Euler's Eyes
2026-10-22
第 II 章の演習 — 循環関数
応答グラフは完全な期間を示します。破線の曲線が表示される場合、それは「参照」関数 ($\operatorname{sen} x$ または $\cos x$) です。グラフを確認するには、$a + b\operatorname{sen}(cx + d)$ エクスプローラー.
正弦関数
演習 23 ～ 42 では、 与えられた関数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の期間と画像を決定し、 与えられた関数の完全な期間のグラフをプロットします。
$f(x) = -\operatorname{sen} x$.
解像度を参照してください
3 つのステップでテーブルを作成します。 1) 値を $x$ に割り当てます。 2 番目) $\operatorname{sen} x$ の値を各 $x$ に関連付けます。 3番目) $\operatorname{sen} x$ と $-1$ を掛けます。
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ |
このテーブルを使用すると、グラフの 5 点、つまり**$x$ 軸に対する正弦波の対称**が得られます。 $\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$と$p(f) = 2\pi$が即時です。
$f(x) = 2 \cdot \operatorname{sen} x$.
解像度を参照してください
同じ 3 つのステップですが、$\operatorname{sen} x$ と 2 を掛けます。
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
各 $x$ について、縦軸は正弦波の縦軸の2 倍になります。 $\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$と$p(f) = 2\pi$が即時です。
$f(x) = -2 \cdot \operatorname{sen} x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = |\operatorname{sen} x|$.
解像度を参照してください
実数 $a$ の場合: if $a \ge 0$, $|a| = a$; $a < 0$、$|a| = -a$の場合。定義を適用すると、次のようになります。
- $\operatorname{sen} x \ge 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = \operatorname{sen} x$: これらのセクションでは、$y = |\operatorname{sen} x|$ と $y = \operatorname{sen} x$ のグラフが一致しています。
- $\operatorname{sen} x < 0 \Rightarrow |\operatorname{sen} x| = -\operatorname{sen} x$: これらのセクションでは、グラフは $x$ 軸に関して対称です。
$\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$と$p(f) = \pi$は即時です。
$f(x) = |3 \cdot \operatorname{sen} x|$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [0, 3]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \operatorname{sen} 2x$.
解像度を参照してください
3 つのステップでテーブルを作成します。 1 番目) $t = 2x$ に値を割り当てます。 2 番目) 値 $\operatorname{sen} 2x$ を各 $2x$ に関連付けます。 3番目) $x = \frac{t}{2}$を計算します。
| $t = 2x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \operatorname{sen} t$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
各$x$について、縦軸は$x$ の2 倍の正弦になります。 $\operatorname{sen} t$ が期間を完了するには、$t = 2x$ が $[0, 2\pi]$ を通過する必要があります。つまり、$x$ が $[0, \pi]$ を通過する必要があります。つまり$p(f) = \pi - 0 = \pi$と$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$です。
$f(x) = \operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$.
解像度を参照してください
$t = \frac{x}{2}$、つまり $x = 2t$ を実行します。
| $t = \frac{x}{2}$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y = \operatorname{sen} t$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\pi$ | $2\pi$ | $3\pi$ | $4\pi$ |
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$と$p(f) = 4\pi$は即時です。
$f(x) = \operatorname{sen} 3x$.
解像度を参照してください
$t = 3x$、つまり$x = \frac{t}{3}$の場合:
| $t = 3x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ |
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$と$p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$は即時です。
$f(x) = -\operatorname{sen}\dfrac{x}{3}$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 6\pi$.
$f(x) = 3 \cdot \operatorname{sen} 4x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$.
$f(x) = 1 + \operatorname{sen} x$.
解像度を参照してください
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen} x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $y$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ |
各$x$について、縦軸は$x$ のサインに1 単位を加えた値となります。各正弦波が 1 ずつ増加すると、 正弦波は上に 1 単位移動します。 $\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$と$p(f) = 2\pi$が即時です。
$f(x) = -2 + \operatorname{sen} x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-3, -1]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen} x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 2 - \operatorname{sen} x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [1, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = -1 + \operatorname{sen} 2x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 0]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = 1 + 3 \cdot \operatorname{sen}\dfrac{x}{2}$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 4]$ e $p(f) = 4\pi$.
$f(x) = \operatorname{sen}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
解像度を参照してください
$t = x - \frac{\pi}{4}$、つまり$x = t + \frac{\pi}{4}$の場合:
| $t = x - \frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $x$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $\frac{7\pi}{4}$ | $\frac{9\pi}{4}$ |
$\operatorname{sen} t$ が期間を完了するには、$t$ が $[0, 2\pi]$ を通過する必要があります。つまり、$x$ が $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\right]$ を通過する必要があります。それから
$$p(f) = \frac{9\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 2\pi \qquad\text{e}\qquad \operatorname{Im}(f) = [-1, 1].$$グラフは正弦波を**$\frac{\pi}{4}$ から右にシフト**したものです。
$f(x) = \operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ および $p(f) = 2\pi$;ピリオドは$-\frac{\pi}{3}$から$\frac{5\pi}{3}$になります。
$f(x) = \operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ および $p(f) = \pi$;ピリオドは$\frac{\pi}{6}$から$\frac{7\pi}{6}$になります。
$f(x) = 1 + 2 \cdot \operatorname{sen}\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ および $p(f) = 4\pi$;ピリオドは$\frac{\pi}{3}$から$\frac{13\pi}{3}$になります。
$a$、$b$、$c$、$d$は正の実数なので、$f(x) = a + b \cdot \operatorname{sen}(cx + d)$で与えられる関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の像と周期を求めます。
解像度を参照してください
$cx + d = t$をしましょう。 $x$ が $\mathbb{R}$ を通過すると、$t$ も $\mathbb{R}$ を通過します (アフィン関数 $t = cx + d$ は全射関数です)。その結果、$\operatorname{sen} t$ は範囲 $[-1, 1]$ を横断し、$b \cdot \operatorname{sen} t$ は $[-b, b]$ を横断し、$y = a + b \cdot \operatorname{sen} t$ は $[a - b, a + b]$ を横断し、$f$ のイメージになります。
$f$ が期間を完了するには、$t$ の範囲が $0$ から $2\pi$ である必要があります。
$$t = 0 \;\Rightarrow\; cx + d = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{d}{c} \qquad\qquad t = 2\pi \;\Rightarrow\; cx + d = 2\pi \;\Rightarrow\; x = \frac{2\pi}{c} - \frac{d}{c}$$したがって
$$p = \Delta x = \left(\frac{2\pi}{c} - \frac{d}{c}\right) - \left(-\frac{d}{c}\right) = \frac{2\pi}{c}.$$$f(x) = 1 - 2 \cdot \operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$となるような関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の1周期グラフを構築します。
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ および $p(f) = \pi$;ピリオドは$\frac{\pi}{6}$から$\frac{7\pi}{6}$になります。
$m$のどのような値に対して$\operatorname{sen} x = 2m - 5$などの$x$があるのでしょうか？
解像度を参照してください
平等を満たす $x$ が存在するには、次の条件が必要です。
$$-1 \le 2m - 5 \le 1 \iff 4 \le 2m \le 6 \iff 2 \le m \le 3.$$それぞれの場合において、$m$ のどの値に対して等式を満たす $x$ は存在しますか? a) $\operatorname{sen} x = 2 - 5m$; b) $\operatorname{sen} x = \dfrac{m - 1}{m - 2}$。
解答を見る
a) $\dfrac{1}{5} \le m \le \dfrac{3}{5}$ · b) $m \le \dfrac{3}{2}$
コサイン関数
演習 47 ～ 56 では、 与えられた関数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の期間と画像を決定し、 与えられた関数の完全な期間のグラフをプロットします。
$f(x) = -\cos x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 2 \cdot \cos x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = -3 \cdot \cos x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-3, 3]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = |\cos x|$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [0, 1]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \cos 2x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = \pi$.
$f(x) = \cos\dfrac{x}{2}$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ e $p(f) = 4\pi$.
$f(x) = 1 + \cos x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [0, 2]$ e $p(f) = 2\pi$.
$f(x) = 1 + 2 \cdot \cos 3x$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 3]$ e $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$.
$f(x) = \cos\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-1, 1]$ および $p(f) = 2\pi$;ピリオドは$\frac{\pi}{4}$から$\frac{9\pi}{4}$になります。
$f(x) = 2 \cdot \cos\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-2, 2]$ および $p(f) = 2\pi$;ピリオドは$\frac{\pi}{3}$から$\frac{7\pi}{3}$になります。
$f(x) = -1 + 2 \cdot \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)$で与えられる関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$の像と周期を求めます。
答えを見る
$\operatorname{Im}(f) = [-3, 1]$ および $p(f) = \dfrac{2\pi}{3}$;ピリオドは$\frac{\pi}{12}$から$\frac{3\pi}{4}$になります。
$t$ のどのような値に対して、等式 $\cos x = \dfrac{t + 2}{2t - 1}$ を満たす $x$ は存在しますか?
解答を見る
$t \le -\dfrac{1}{3}$ または $t \ge 3$
式 $y = \operatorname{sen} 107^\circ + \cos 107^\circ$ の符号を決定します。
解像度を参照してください
サイクルを調べると、$|\operatorname{sen} 135^\circ| = |\cos 135^\circ|$ と
$$90^\circ < x < 135^\circ \;\Longrightarrow\; |\operatorname{sen} x| > |\cos x|,$$この円弧では、点 $P$ が $v$ 軸よりも $u$ 軸から離れているためです。
$\operatorname{sen} 107^\circ > 0$、$\cos 107^\circ < 0$、$|\operatorname{sen} 107^\circ| > |\cos 107^\circ|$として、次のようになります。
$$\operatorname{sen} 107^\circ + \cos 107^\circ > 0.$$それぞれの式の符号は何ですか?
$$y_1 = \operatorname{sen} 45^\circ + \cos 45^\circ \qquad y_2 = \operatorname{sen} 225^\circ + \cos 225^\circ \qquad y_3 = \operatorname{sen}\frac{7\pi}{4} + \cos\frac{7\pi}{4} \qquad y_4 = \operatorname{sen} 300^\circ + \cos 300^\circ$$解答を見る
$y_1 > 0$, $y_2 < 0$, $y_3 = 0$, $y_4 < 0$
関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$のグラフを$f(x) = \operatorname{sen} x + \cos x$となるようにスケッチします。
解像度を参照してください
この関数は、$x$ ごとに、$x$ のサインとコサインの和である $y$ を関連付けます。正弦波と余弦波を同じ図に配置し、$x$ ごとに、各曲線上で見つかった点の縦座標を追加します。
$\operatorname{Im}(f) = \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]$ と $p(f) = 2\pi$ については後で説明します。
$f(x) = \cos x - \operatorname{sen} x$ で与えられる関数 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の 1 周期のグラフをスケッチします。
答えを見る
$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$なら$\operatorname{sen} x + \cos x > 1$であることを証明してください。 提案: 三角サイクルを使用してください。
デモを見る
$P$ を円弧 $\overset{\frown}{AB}$ 内の $x$ の画像とし、$P_1$ と $P_2$ を軸上の投影とします: $OP_2 = \cos x$ と $P_2P = OP_1 = \operatorname{sen} x$、どちらも正です。三角形$OP_2P$($P_2$の長方形) では三角不等式により次のようになります。
$$OP < OP_2 + P_2P \quad\Longrightarrow\quad 1 < \cos x + \operatorname{sen} x.$$$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の場合、$O$、$P_2$、$P$ が揃っていないため、不等式は厳密です。
正接関数
$f(x) = \operatorname{tg} 2x$ となる実関数 $f$ の定義域は何ですか?
解像度を参照してください
$2x = t$をしましょう。 $t \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) の場合に限り、$\operatorname{tg} t$ が存在します。それから
$$2x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \;\Longrightarrow\; x \ne \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2} \qquad\text{e}\qquad D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$実関数の定義域は何ですか: a) $f(x) = \operatorname{tg} 3x$; b) $g(x) = \operatorname{tg}\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$?
解答を見る
a) $D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{6} + k\,\dfrac{\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ · b) $D(g) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{5\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$
それぞれの式の符号は何ですか?
$$y_1 = \operatorname{tg} 269^\circ + \operatorname{sen} 178^\circ \qquad\qquad y_2 = \operatorname{tg}\frac{12\pi}{7} \cdot \left(\operatorname{sen}\frac{5\pi}{11} + \cos\frac{23\pi}{12}\right)$$解答を見る
$y_1 > 0$ e $y_2 < 0$
$\alpha$のどのような値に対して$\operatorname{tg} x = \sqrt{\alpha^2 - 5\alpha + 4}$などの$x$があるのでしょうか？
解答を見る
$\alpha \le 1$ または $\alpha \ge 4$
グラフをスケッチし、実関数 $f(x) = \operatorname{tg}\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)$ の定義域と周期を与えます。
解像度を参照してください
$x - \frac{\pi}{4} = t$をしましょう。我々は持っています：
$$\exists\, \operatorname{tg} t \;\Rightarrow\; t \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \;\Rightarrow\; x - \frac{\pi}{4} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, \qquad\text{então}\qquad D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{3\pi}{4} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$$\operatorname{tg} t$ が完全な期間を記述するには、次の条件が必要です。
$$-\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2} \iff -\frac{\pi}{2} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \iff -\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4},$$次に$p(f) = \dfrac{3\pi}{4} - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \pi$。
この関数は値 $\operatorname{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ を各 $x$ に関連付けているため、グラフは (既に見た関数から類推すると) グラフは $\frac{\pi}{4}$ から接線を右にシフトしたもの になります。
グラフをスケッチし、実関数 $f(x) = \operatorname{tg}\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ の定義域と周期を与えます。
答えを見る
$D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$ および $p(f) = \dfrac{\pi}{2}$;分岐は $-\frac{\pi}{3}$ から $\frac{\pi}{6}$ に進み、$-\frac{\pi}{12}$ で $x$ 軸を切断します。
コタンジェント、セカント、コセカント
実関数の領域と周期を決定する
$$f(x) = \operatorname{cotg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right), \qquad g(x) = \sec 2x, \qquad h(x) = \operatorname{cossec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right).$$解答を見る
$D(f) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{3} + k\pi\right\}$, $D(g) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\right\}$, $D(h) = \left\{x \in \mathbb{R} \mid x \ne -\dfrac{\pi}{4} + k\pi\right\}$ ($k \in \mathbb{Z}$); $p(f) = \pi$, $p(g) = \pi$, $p(h) = 2\pi$
それぞれの場合において、等式を満たす $x$ が存在するために $m$ が属している必要があるセットを決定します。
a) $\operatorname{cotg} x = \sqrt{2 - m}$; b) $\sec x = 3m - 2$; c) $\operatorname{cossec} x = \dfrac{2m - 1}{1 - 3m}$.
解答を見る
a) $m \le 2$ ・ b) $m \le \dfrac{1}{3}$ または $m \ge 1$ ・ c) $0 \le m < \dfrac{1}{3}$ または $\dfrac{1}{3} < m \le \dfrac{2}{5}$
式の符号を決定する
$$y_1 = \cos 91^\circ + \operatorname{cossec} 91^\circ \qquad y_2 = \operatorname{sen} 107^\circ + \sec 107^\circ \qquad y_3 = \sec\frac{9\pi}{8} \cdot \left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{6} + \operatorname{cotg}\frac{\pi}{7}\right)$$解答を見る
$y_1 > 0$, $y_2 < 0$, $y_3 < 0$