Euler's Eyes
2026-10-15
ブリッグスと常用対数
これらの数は、最も高名なマーキストン男爵ジョン・ネイピアによって最初に発明され、のちに彼自身の意見に従ってヘンリー・ブリッグスが改めた。
— ヘンリー・ブリッグス『対数算術』の扉（1624）
ヘンリー・ブリッグスはロンドンのグレシャム・カレッジの幾何学教授で、イングランドで指折りの計算家でした。1615 年 3 月、彼は友人への手紙に、ネイピアの新しい対数のおかげで「頭も手も仕事でいっぱい」だと書き、その夏に会いたいと述べています。そのとおりになりました。マーキストンでの話し合いで、二人は表を二点変えればずっと実用的になると合意しました。1 の対数を 0 に、10 の対数を 1 にするのです。
10 を底とする対数
こう決めると、$x$ の対数は、$x$ を得るために 10 を何乗すればよいかを示す指数になります。
$$\log x=y\iff10^y=x.$$そして数列の法則が、じゃまな因数なしに成り立ちます。
$$\log(ab)=\log a+\log b,\qquad\log\frac ab=\log a-\log b,\qquad\log a^n=n\log a.$$log 2 を計算する
ブリッグスはどうやってこれらの数を計算したのでしょうか。簡単な工夫が考え方をよく示してくれます。
$$2^{10}=1024\approx1000=10^3$$です。対数をとると $10\log2\approx3$、つまり $\log2\approx0.3$。よりよくするには余った分を使います。$2^{10}=10^3\times1.024$ なので
$$\log2=\frac{3+\log1.024}{10}.$$1 にとても近い数では $\log(1+h)\approx0.4343\,h$ です。$h=0.024$ とすると $\log1.024\approx0.0104$ で、$\log2\approx0.30104$。正しい値は $0.30103$ です。ほかの対数もただで手に入ります。$\log4=2\log2\approx0.60206$、$\log8\approx0.90309$、$\log5=\log10-\log2\approx0.69897$。
ブリッグスはずっと先まで進みました。10 の平方根を 54 回続けて、それぞれ 30 桁以上の小数まで計算し、1 にきわめて近い数にたどり着きました。その対数 $1/2^{54}$ を、それが 1 をどれだけ超えるかと直接比べられるほどです。とてつもない仕事でしたが、彼はそれを手で行いました。
指標と仮数
10 を底にする大きな利点は、小数点の位置を動かしても、対数の整数部分しか変わらないことです。
$$\log2=0.30103,\quad\log20=1.30103,\quad\log200=2.30103,\quad\log2000=3.30103.$$整数部分の指標は、数が何桁かを表します。小数部分の仮数は、どれも同じです。だから 1 から 10 までの数の仮数の表が一つあれば、どんな数にも使えるのです。
対数表
ネイピアが亡くなった 1617 年、ブリッグスは 1 から 1000 までの対数を小数点以下 14 桁で出版しました。1624 年の『対数算術』では、1 から 20 000 まで、および 90 000 から 100 000 までの対数を、やはり 14 桁で出しました。オランダのアドリアーン・ヴラックが 1628 年に残りを埋めました。常用対数表は 1970 年代まで、天文学者、航海者、技術者、学生に使われました。
練習問題：log 2 ≈ 0.30103、log 3 ≈ 0.47712 として、log 6、log 1.5、log 72 を求めよ。
$\log6=\log2+\log3\approx0.77815$。$\log1.5=\log3-\log2\approx0.17609$。$72=8\times9=2^3\times3^2$ なので $\log72=3\log2+2\log3\approx0.90309+0.95424=1.85733$。指標 1 は 72 が 2 桁であることを示します。
練習問題：対数を使って、伝説のチェス盤の麦粒の数 2⁶⁴ を見積もれ。
$\log2^{64}=64\log2\approx64\times0.30103=19.26592$。指標 19 は数が 20 桁であることを示し、仮数 $0.26592$ は $10^{0.26592}\approx1.845$ にあたります。よって $2^{64}\approx1.845\times10^{19}$。正確な値は $18\,446\,744\,073\,709\,551\,616$ です。
出典： Henry Briggs、Arithmetica logarithmica（ロンドン、1624）· Ian Bruce、“The agony and the ecstasy: the development of logarithms by Henry Briggs”、The Mathematical Gazette 86（2002）· Julian Havil、John Napier: Life, Logarithms, and Legacy（2014）。