Euler's Eyes
2026-10-26
部族の約束：アインシュタイン、ブルバキ、通の読み手
ある記法は、すべての数学者に同じように属しているわけではない。分野ごとに、ときには学派ごとに近道があり、外から来た人はそこでつまずく。これは欠陥ではない。生きた言語ならどれでもそうであるように、なまりや専門用語に分かれていくのである。だが、それは読み手や学ぶ人に影響を与える。
アインシュタインは和の記号を消す
1916 年、一般相対性理論を発表した論文で、アルベルト・アインシュタインは次のような式を何百も書かなければならなかった。
$$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$彼は、自分の式では、添字が下と上に一度ずつ、二度くり返されるとかならず和が現れることに気づいた。そこで読み手と取り決めをした。添字が二度現れたら和をとることにし、$\Sigma$ は書かなくてよい、と。上の式は $a_\mu b^\mu$ とだけ書かれる。
アインシュタインは友人に冗談を言ったと伝えられている。「数学で大発見をした。二度現れる添字について和をとるときは、いつも和の記号を省くことにしたのだ。」冗談には真剣な中身がある。アインシュタインの規約は、いまでは相対性理論と微分幾何学の共通語である。物理学者は $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ を読むとき、そこに十六項の二重和が隠れているとは考えもしない。ほかの分野の学生には、二つの文字が見えるだけで、和はまったく見えない。
ブルバキの記号
1935 年から数学の基礎を書き直したフランスの集団数学者ニコラ・ブルバキのグループは、いまでは普遍的に見える跡を記法に残した。空集合の記号 $\varnothing$ は、ノルウェー語のアルファベットの文字 Ø を知っていたアンドレ・ヴェイユが、1939 年の『数学原論』第一巻のために選んだものである。そしてブルバキの本の余白には、交通標識の危険なカーブ ☡ があり、その部分には特別な注意がいることを読み手に知らせている。
ひとつの文字、いくつもの部族
- $i$ か $j$ か。 数学者にとって $\sqrt{-1}$ は $i$ である。電気技術者にとっては $j$ である。$i$ はもう電流に使われていたからだ。両者は同じものを $3 + 4i$ と $3 + 4j$ と書く。
- $\log$。 多くの数学者にとって $\log x$ は底 $e$ の自然対数である。技術者や電卓にとっては底 10、計算機科学者にとっては、ほとんどいつも底 2 である。三つの意味が、同じ年に出版された本の中に共存している。
- $\langle \psi |$。 量子物理学者は、ポール・ディラックのかっこ（1939）で状態を書く。ブラ $\langle \phi |$ とケット $| \psi \rangle$ で、合わせてブラケット $\langle \phi | \psi \rangle$ になる。この記法は英語のかっこ（bracket）をもじったしゃれであり、同時に、ある種の計算をほとんどひとりでに書かせてしまう。
練習：規約をほどく
添字を 1 から 3 までとし、アインシュタインの規約のもとで、$a_i b_i$ と $\delta_{ii}$ をすべて書き出せ。ただし $\delta_{ij}$ は $i = j$ のとき $1$、それ以外のとき $0$ とする。
$a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$。これは第1章の内積である。また $\delta_{ii} = \delta_{11} + \delta_{22} + \delta_{33} = 3$。くり返された添字は和を命じ、結果は空間の次元になる。
練習：技術者の j
ある技術者がインピーダンスを $Z = 3 + 4j$ と書く。その絶対値はいくらか。数学者なら同じ数をどう書くか。
数学者なら $z = 3 + 4i$ と書くだろう。どちらの場合も絶対値は $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ である。文字をかえても計算は何も変わらない。変わるのは、その式を読んでくつろげるのがだれか、ということだけである。