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ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの生涯

年表 17361 月 25 日、サルデーニャ王国の首都トリノで、ジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャという名で生まれる。 175317 歳のとき、エドモンド・ハレーの論文を読み、数学に身をささげることを決める。 1755変分法のもとになる方法をオイラーに書き送る。9 月、19 歳でトリノの砲兵学校の教授に任命される。 1757のちにトリノ科学アカデミーとなる科学協会の創設に加わる。 1764月がいつも同じ面を見せる理由を説明して、パリ科学アカデミーの賞を受ける。 1766ベルリンに移り、フリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。 1770すべての正の整数が四つの平方数の和であることを証明し、方程式の根の置換の研究を始める。 1772三体問題でオイラーとパリの賞を分け合う。この研究にラグランジュ点が現れる。 1787フリードリヒの死後パリに移り、ルーヴル宮に住む。 1788『解析力学』を出版する。 1790メートル法をつくる委員会に加わる。 1794ラヴォアジエがギロチンにかけられる。ラグランジュは新設のエコール・ポリテクニークの教授になる。 1797記号 $f'(x)$ を使った『解析関数論』を出版する。 1808ナポレオンにより帝国伯爵に叙せられる。 18134 月 10 日パリで亡くなり、パンテオンに葬られる。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1736–1766 トリノ19 歳で砲兵学校の教授となる。のちに変分法となる方法をオイラーに書き送る。 1766–1787 ベルリンフリードリヒ大王のアカデミーでオイラーの後任となる。四平方定理を証明し、ラグランジュ点を見つける。 1787–1813 パリルーヴルに住み、『解析力学』を出版し、メートル法の制定に加わり、理工科学校で教える。パンテオンに葬られる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1736–1766 · トリノ1766–1787 · ベルリン1787–1813 · パリ トリノ、ベルリン、パリ。三つの都のラグランジュ。 すべてを失った父 ラグランジュは 1736 年にトリノで生まれました。家系は曾祖父の側がフランス系で、曾祖父はサヴォイア公に仕えていました。子どもはジュゼッペ・ロドヴィーコ・ラグランジャと洗礼名をつけられ、生涯にさまざまな署名を使ったのち、フランス語の形、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに落ちつきました。十一人きょうだいの長男で、おとなになれたのは二人だけでした。 父は王国の公共事業・要塞局の会計官という名誉ある職にあり、一家は裕福でした。ところが父は金融投機でほとんどすべてを失ってしまいます。年をとってから、ラグランジュはこのことを上機嫌で語りました。 もし私が金持ちだったら、たぶん数学に身をささげはしなかっただろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、伝記作者ドランブルによる ハレーと転向 父は彼を弁護士にしたいと考えており、若いラグランジュもラテン語や古典を楽しんで学んでいました。ギリシアの幾何学は退屈でした。転機は 17 歳ごろ、イギリスの天文学者エドモンド・ハレーが 1693 年に書いた、光学における代数的方法の利点についての論文をたまたま読んだときに訪れます。図を使わず計算で問題を解くという考えに魅了されたラグランジュは、独学で数学を学ぶことを決めました。この好みは生涯変わりませんでした。

October 14, 2026 読んだ
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ヨハン・ベルヌーイの生涯

年表 16677 月 27 日、ニコラウス・ベルヌーイの十番目の子としてバーゼルに生まれる。 1682商売を学ぶためにヌーシャテルに送られるが、向いていない。 1683バーゼル大学に入学。医学を学び、兄ヤコブとともに数学を学ぶ。 1691懸垂線の問題を解く。ジュネーヴ、ついでパリへ旅する。 1692ロピタル侯爵に微積分を教えはじめる。 1694医学博士となる。ロピタルと契約を結び、ドロテア・ファルクナーと結婚する。 1695オランダのフローニンゲンで数学教授になる。 1696最速降下線の挑戦を出す。彼の講義をもとにしたロピタルの本が出る。 1705バーゼルに戻る。ヤコブが亡くなり、ヨハンがその講座を継ぐ。 1717ヴァリニョンへの手紙で仮想仕事の原理を述べる。 1720若いレオンハルト・オイラーの指導を始める。 1734息子ダニエルとパリ科学アカデミーの賞を分け合い、息子を家から追い出す。 17481 月 1 日、80 歳でバーゼルに没する。 ◀ 前へ 旅をたどる 次へ ▶ 1667–1682 バーゼルニコラウス・ベルヌーイの十番目の子として生まれる。父は彼を商人にしたがっていた。 1682 ヌーシャテル商売を学びに出されるが、向いていなかった。 1683–1691 バーゼル医学を学び、兄ヤコブとともにライプニッツの微積分を学ぶ。懸垂線の問題を解く。 1691 ジュネーヴパリへ向かう途中、ジュネーヴに立ち寄る。 1691–1692 パリマルブランシュのサークルと知り合い、ロピタル侯爵に微積分を教え始める。ウックの城でも教えた。 1695–1705 フローニンゲンオランダで数学の教授となる。1696 年、最速降下曲線の問題を出す。 1705–1748 バーゼル故郷に戻り、ヤコブの講座を継ぎ、若いオイラーを指導し、息子ダニエルと争う。1748 年、80 歳で亡くなる。 地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。 バーゼル、パリ、フローニンゲンを行き来したヨハン・ベルヌーイ。 地図：© OpenStreetMap 協力者 1667–1682 · バーゼル1682 · ヌーシャテル1683–1691 · バーゼル1691 · ジュネーヴ1691–1692 · パリ1695–1705 · フローニンゲン1705–1748 · バーゼル バーゼル、パリ、フローニンゲンを行き来したヨハン・ベルヌーイ。 香辛料を売りたくなかった末っ子 ヨハンは、香辛料商人でバーゼルの参事会員だったニコラウス・ベルヌーイの十番目の子でした。父はすでに一度負けていました。牧師になるはずだった長男ヤコブは、数学のことしか考えていなかったのです。末っ子ではそうはさせない。15 歳のヨハンは、フランス語と商売を学ぶためにヌーシャテルに送られました。

October 14, 2026 読んだ
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変分法：十九歳の青年の手紙

ニュートンとライプニッツの微積分は、曲線のいちばん高い点を見つけることができます。導関数がゼロになるところです。けれども、別の種類の問いもあります。二点を結ぶいちばん短い道は何か。玉がいちばん速くすべり下りるのは、どんな形のすべり台か。ぶら下がった鎖はどんな曲線になるか。こうした問いでは、答えは数ではなく、無数にありうる曲線のなかから選ばれる、曲線まるごとです。 最速降下線 1696 年、ヨハン・ベルヌーイはヨーロッパの数学者たちに挑戦状を出しました。二点 $A$ と $B$ があり、$B$ は $A$ より低いけれども真下ではない。玉が摩擦なしに自分の重さだけですべるとき、$A$ から $B$ へいちばん短い時間で行けるのはどの曲線か。この問題の名前はギリシア語の brachistos（もっとも短い）と chronos（時間）からきています。 直線はいちばん短い道ですが、いちばん速い道ではありません。道が長くなっても、はじめに急に下って早くスピードを得たほうが得なのです。挑戦に答えたのは、ヨハン、その兄ヤコブ、ライプニッツ、ロピタル、そしてだれもがニュートンだと見抜いた匿名の筆者でした。答えはサイクロイド、転がる車輪の一点が描く曲線です。 どの解き方も、それぞれちがう巧妙なわざでした。たとえばヨハンは、玉を、だんだん密度の小さくなるガラスの層を通りぬける光線と考え、屈折の法則を使いました。足りないのは一般的な方法でした。 オイラーの方法 オイラーは何年もその方法を探し、1744 年に『極大または極小の性質をもつ曲線を見いだす方法』という本で発表しました。考え方は幾何学的でした。曲線を辺の多い多角形に置きかえ、頂点を一つだけ動かして、最適にしたい量への影響を見るのです。うまくいきましたが、計算は長く、問題ごとに専用の図が必要でした。 1755 年の手紙 1755 年 8 月 12 日、オイラーのもとに、トリノの無名の 19 歳から手紙が届きました。ラグランジュは別のやり方を提案していました。頂点を一つ動かすかわりに、曲線全体を一度に変化させるのです。$y(x)$ が求める曲線なら、彼はとなりの曲線 $$y(x)+\delta y(x)$$を考えました。ここで $\delta y$ は小さなずれで、端点 $A$ と $B$ は固定されているので両端ではゼロです。ギリシア文字の d である $\delta$ が新しい記号でした。ライプニッツの $d$ が変数の変化を表すように、$\delta$ は関数の変化を表します。 こうした問いの多くは、積分 $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx$$をできるだけ小さく、あるいは大きくすることを求めます。$F$ は点の位置、曲線の高さ、その傾きによって決まります。たとえば曲線の長さは $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx$$です。 方程式 ラグランジュの計算は三つのステップにおさまります。第一に、積分の変化は、$y$ と $y'$ の変化がそれぞれ引き起こす変化の和です。 $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二に、$\delta y'$ は $\delta y$ の導関数なので、部分積分で微分をもう一方の因子に移せます。$\delta y$ は両端でゼロなので、境界の項は消えます。

October 14, 2026 読んだ
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懸垂線：つるされた鎖

Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum.（しなやかな線が垂れ下がるように、硬いアーチは逆さにして立つ。） — ロバート・フック、1705 年に解読されたアナグラム 細い鎖の両端を持って、垂れ下がるままにしてみましょう。放物線のように見える美しい曲線ができます。1638 年、ガリレオはそれがほんとうに、少なくとも近似的には放物線だと考えました。オランダのクリスティアーン・ホイヘンスは 17 歳のとき、そうではありえないことを示しました。けれども、それがどんな曲線なのかはだれにもわかりませんでした。 1690 年 5 月、ヤコブ・ベルヌーイは『学術紀要』でこの問いを読者への挑戦として出しました。彼自身は一年かけても解けませんでした。1691 年 6 月、三つの正しい解が発表されます。ライプニッツ、当時 62 歳のホイヘンス、そしてヤコブのいちばん下の弟、24 歳のヨハンです。ヨハンはこのことをだれにも忘れさせませんでした。 兄の努力は実を結びませんでした。私のほうはもっと幸運で、それを完全に解く腕前を見つけたのです。自慢するわけではありませんが、なぜ真実を隠す必要がありましょう。たしかに、その研究のために私はひと晩じゅう休むことができませんでした。 — ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・レモン・ド・モンモール宛の手紙（1718） 鎖の一部を見る こつは、鎖全体ではなくその一部を見ることです。最低点を原点とし、$y$ を上向きにとって、その点から右にある点 $P$ までの部分を考えます。 この部分は静止しているので、はたらく力はつりあっています。力は三つです。 最低点では、鎖が水平に左向きの力 $H$ で引く。 $P$ では、鎖が接線方向に力 $T$ で引く。 この部分の重さ $w\,s$。$w$ は 1 メートルあたりの重さ、$s$ はこの部分の長さ。 水平方向では $T$ の水平成分が $H$ とつりあい、鉛直方向では $T$ の鉛直成分が重さとつりあいます。$T$ は接線方向を向いているので、二つの成分の比が傾き $y'$ です。 $$y'=\frac{\text{鉛直}}{\text{水平}}=\frac{w\,s}{H}=\frac sa,\qquad a=\frac Hw.$$数 $a$ は長さの次元をもち、鎖がどれだけ張っているかを表します。 鎖の方程式 ここで $x$ で微分します。曲線の小さな一片にピタゴラスの定理を使うと、長さの増え方は $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+y'^2}$ です。したがって

October 14, 2026 読んだ
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『解析力学』：図のない本

1687 年のニュートンの『プリンキピア』を開くと、ほとんどすべてのページに図があります。三角形、楕円、矢印、接線。百年後の 1788 年に出版されたラグランジュの『解析力学』を開くと、図は一枚もありません。著者自身が序文でそのことを誇らしげに予告し、こう付け加えています。 解析を愛する人びとは、力学が解析の新しい一分野になるのを喜んで見るだろうし、私がこうしてその領域を広げたことに感謝してくれるだろう。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『解析力学』序文（1788） 『解析力学』（Méchanique analitique）初版の扉、パリ、1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · パブリックドメイン この本はベルリンで書かれ、ほとんど完成した状態でパリに持ちこまれました。これほどむずかしい論文にお金を賭けようという出版社はなく、ある書店を説きふせて出版させ、校正刷りに目を通したのは若いアドリアン＝マリ・ルジャンドルでした。印刷された本が届いたとき、ラグランジュは気分のふさいでいた時期で、二年間それを開かなかったといわれています。 力のやっかいさ ニュートンの力学では、物体がどう動くかを知るには、それにはたらくすべての力を書き出し、矢印のように足し合わせなければなりません。たとえば振り子には、重さと糸の張力がはたらきます。重さはかんたんですが、張力はそうはいきません。それは時々刻々と変わり、前もってだれにもわかりません。おもりを糸につないでおく役目しかないのに、それでも運動にたどりつくには、まずそれを計算しなければならないのです。 ラグランジュは、こうした束縛の力がそもそも現れない方法をほしがっていました。 すべてを一つの関数で ラグランジュの考えは、系を自由に選んだ座標、いちばん自然なもので記述することでした。振り子なら、一つの数で十分です。糸が鉛直線となす角 $\theta$ です。次に、その座標を使って二つのエネルギーを書きます。 $T$：運動のエネルギー（今日いう運動エネルギー） $V$：位置によってたくわえられたエネルギー（今日いう位置エネルギー） そして、今日ラグランジアンと呼ばれる一つの関数をつくります。 $$L=T-V.$$本当の運動は、オイラー＝ラグランジュ方程式を、$x$ のかわりに時間 $t$ で満たすものです。 $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0.$$ここで $q$ は座標、上に点のついた $\dot q$ はその速度で、ニュートンの記法です。これはレシピです。$L$ を書き、微分し、ゼロとおく。図も矢印もありません。 最初のテスト：自由落下 高さ $h$ にある質量 $m$ の物体では、運動のエネルギーは $T=\frac12m\dot h^2$、たくわえられたエネルギーは $V=mgh$ です。よって $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程式は $m\ddot h+mg=0$、つまり $\ddot h=-g$ となります。物体は一定の加速度 $g$ で落ちる。矢印を一本も描かずに、ガリレオの法則がふたたび得られました。

October 14, 2026 読んだ
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ロピタルの定理：侯爵に売られた講義

私はベルヌーイ両氏の見識、とりわけ現在フローニンゲンの教授である若いほうの方の見識に多くを負っていることを認める。私は遠慮なく彼らの発見と、ライプニッツ氏の発見を使わせてもらった。 — ロピタル侯爵『無限小解析』序文（1696） 1691 年、ギヨーム・ド・ロピタル侯爵は 30 歳で、爵位と城と、ひとつの情熱をもっていました。発表されたばかりで、フランスではほとんどだれも読めなかったライプニッツの微積分を理解することです。微積分をほとんどだれよりもよく知っていたスイスの若者ヨハン・ベルヌーイがパリに現れると、侯爵は彼を家庭教師として雇いました。 ヨハンがスイスに戻ったあとも、講義は手紙で続きました。1694 年 3 月 17 日、ロピタルは変わった提案を書き送ります。年に 300 リーヴルの年金を払う。条件は、ヨハンが質問に答え、自分の発見を送り、それをほかのだれにも伝えないこと。新婚で職のなかったヨハンは受け入れました。 『曲線の理解のための無限小解析』（パリ、1696）の扉。最初の微分学の本。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 二年後、『曲線の理解のための無限小解析』がパリで出版されました。表紙に著者名はありませんでしたが、だれもがロピタルの本だと知っていました。それは歴史上 最初の微分学の本 で、明快でよく整理されており、ほぼ一世紀のあいだヨーロッパで微積分を教えるのに使われました。その第 9 章に、$\frac00$ の形の極限を計算する規則がありました。 問題：0 を 0 で割る $x$ がある点 $a$ に近づくとき、分子と分母がともに 0 に近づくなら、分数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ はどこに向かうのか。そう知りたいことはよくあります。たとえば $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$$$x=0$ を代入すると $\frac00$ になり、意味をなしません。分数はどんな値に近づくこともあり、どこにも近づかないこともあります。二つの関数が 0 に向かう 速さ を比べなければなりません。 ヨハンの考え $a$ の近くでは、微分可能な関数はその接線に似ています。 $$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a),\qquad g(x)\approx g(a)+g'(a)(x-a).$$$f(a)=g(a)=0$ なら、残るのは $$\frac{f(x)}{g(x)}\approx\frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}.$$$\frac00$ の原因だった因子 $(x-a)$ が消えます。規則はこう言います。$f(a)=g(a)=0$ で、右辺の極限が存在すれば、 $$\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.}$$正弦では、$\lim\frac{\sin x}{x}=\lim\frac{\cos x}{1}=1$。新しい商もまた $\frac00$ なら、規則をもう一度使います。

October 14, 2026 読んだ
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ラグランジュ点：重力がつり合う場所

2021 年 12 月 25 日、ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡を積んだロケットがフランス領ギアナから打ち上げられました。望遠鏡はハッブルのように地球をまわる軌道には入れられませんでした。一か月かけて、ここから 150 万キロメートル離れた、いつも太陽と反対側にある宇宙の何もない一点まで旅をして、そこにとどまったのです。その点の住所は、ラグランジュが 1772 年に書いた受賞論文から出てきます。それは L2 と呼ばれています。 三つの天体 ニュートンは、引き合う二つの天体、たとえば太陽と一つの惑星の運動を完全に解きました。どちらも楕円を描きます。三つの天体、たとえば太陽、地球、月になると、すべてがややこしくなります。それぞれの天体がほかの二つを引っぱり、運動は混沌としたものになりえます。18 世紀の数学者たちはそれがかんたんではないことを知っており、パリ科学アカデミーは何度もこの問題を懸賞の課題にしました。 1772 年、賞はオイラーとラグランジュに分けて与えられました。ラグランジュの論文『三体問題についての試論』は一般解を見つけませんでした。実際、公式の形の一般解は存在しないことを、のちに 1890 年にポアンカレが示します。けれども、驚くべきものを見つけました。三つの天体が剛体のようにいっしょに回転し、それらがつくる図形の形がまったく変わらない、特殊解です。 そうなる方法は二通りあります。三つの天体が一直線に並ぶ場合で、これはオイラーが 1767 年にすでに見つけていました。もう一つは、大きさは何でもよい正三角形の頂点にあって、重心のまわりを回る場合です。この二つめがラグランジュの発見でした。 五つの点 三つの天体のうち一つがとても小さいとき、たとえば太陽と地球の近くの宇宙船のようなとき、これらの解は宇宙空間の五つの場所になります。そのどれかに置かれた宇宙船は、地球といっしょに太陽のまわりを回り、二つの天体に対していつも同じ位置を保ちます。 太陽–地球系の五つのラグランジュ点。L1、L2、L3 は二つの天体を結ぶ直線上にあり、L4 と L5 はそれらと正三角形をつくって、地球の 60° 前方と 60° 後方にある。Euler’s Eyes 作図 L1 は地球と太陽のあいだにあり、地球の引力が太陽の引力を少し打ち消すところです。 L2 は地球の向こう側にあり、二つの引力が足し合わされるところです。 L3 は太陽の向こう側にあり、地球より少し遠くにあります。 L4 と L5 は正三角形の頂点です。 L2 の計算 なぜ L2 は 150 万キロメートル先にあって、ほかの場所ではないのでしょうか。地球の外側に距離 $r$ だけ離れた物体は、太陽から $R+r$ の距離にあります。$R$ は地球と太陽の距離です。地球といっしょに回るには、地球と同じ時間、つまり一年でひと回りしなければなりません。太陽から遠いところでは、太陽の引力だけではそれに足りません。同じ向きに引っぱる地球の引力が、足りない分をおぎなうのです。 引力の合計と、曲がって進むのに必要な力が等しいという式を書き、$r$ が $R$ よりずっと小さいことを使うと、かんたんな公式にたどりつきます。

October 14, 2026 読んだ
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最速降下線：1696 年の挑戦

鉛直な平面上に二点 A と B が与えられたとき、動く物体 M が自分の重さだけで降りて、A から B へ最も短い時間で移る曲線 AMB を求めよ。 — ヨハン・ベルヌーイ『学術紀要』（1696 年 6 月） 1696 年 6 月、ヨハン・ベルヌーイは『学術紀要』で「全世界の最も鋭敏な数学者たち」に挑戦しました。問いは遊園地の話のようです。二点のあいだでいちばん速いすべり台はどんな形か。問題の名はギリシャ語から来ています。brachistos は最も短い、chronos は時間。最速降下線、最短時間の曲線です。 ヨハンは六か月の期限を与え、自分はもう答えをもっていると告げました。だれにでも向けた挑戦でしたが、ねらいは二人でした。公然と戦争中だった兄ヤコブと、ライプニッツの友人たちが微積分を盗んだと非難していたアイザック・ニュートンです。 答えは直線ではない 直線は 最も短い 道ですが、最も速い 道ではありません。摩擦なしにすべる球は、落ちるにつれて速くなります。だから、道が長くなっても、最初に急に降りて早めに速さを得るほうが得なのです。一方で、極端に急降下すると道がのびすぎます。最善の道はその折り合いで、それを見つけることは、無数にありうる曲線のなかから曲線をまるごとひとつ見つけることです。 $x$ を水平、$y$ を 下向き にとり、出発点を $A=(0,0)$ とします。エネルギー保存から、高さ $y$ だけ落ちたあとの速さは $$\frac12mv^2=mgy\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{2gy}.$$速さは高さだけで決まり、道すじにはよりません。 ヨハンの考え：球は光線だ ヨハンはすばらしいことを思いつきました。フェルマーは、光がある媒質から別の媒質に移るとき 最短時間の道 をとること、そしてそこからスネルの屈折の法則が出てくることを示していました。 $$\frac{\sin\alpha_1}{v_1}=\frac{\sin\alpha_2}{v_2}.$$ここで $\alpha$ は光線が鉛直となす角、$v$ はそれぞれの媒質での光の速さです。光もまた、できるだけ速く着きたいのです！ そこでヨハンは、$A$ と $B$ のあいだの空間を、ガラス板のようなごく薄い水平の層に切り分けることを考えました。各層には下に行くほど大きくなる速さ $v=\sqrt{2gy}$ があります。層を通りぬける光線は、層ごとに折れ曲がります。層を無限に薄くすると光線はなめらかな曲線になり、スネルの法則がどの点でも成り立ちます。 $$\frac{\sin\alpha}{v}=\text{一定}.$$これが曲線の方程式です。$\alpha$ は接線が鉛直となす角なので $\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{1+y'^2}}$。$v=\sqrt{2gy}$ を代入して二乗すると、 $$\boxed{\ y\left(1+y'^2\right)=2a\ }$$となります。$a>0$ は定数です。 答え：サイクロイド ヨハンはこの方程式に見覚えがありました。サイクロイド、つまり直線の上を転がる車輪のふちの一点が描く曲線を、ここでは上下逆さにしたものです。半径 $a$ の車輪が角 $\theta$ だけ回ったとき、 $$x=a(\theta-\sin\theta),\qquad y=a(1-\cos\theta).$$確かめましょう。導関数を割ると $y'=\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}=\cot\dfrac\theta2$ で、$1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac\theta2$ なので、

October 14, 2026 読んだ
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四つの平方数で足りる

好きな正の整数を一つとって、平方数 $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ の和として、できるだけ少ない項で書いてみましょう。 $$\begin{aligned} 5&=4+1,\\ 6&=4+1+1,\\ 7&=4+1+1+1,\\ 30&=25+4+1,\\ 2026&=2025+1=45^2+1^2. \end{aligned}$$それ自身が平方数のものもあれば、二つ必要なもの、三つ必要なものもあります。7 は四つ必要で、ほかに方法はありません。五つ必要な数はあるでしょうか。1770 年、ラグランジュはないことを証明しました。 すべての正の整数は、四つの整数の平方の和である。 ゼロも平方数に数えれば、これは $n=a^2+b^2+c^2+d^2$ となる $a, b, c, d$ がいつも存在するということです。 十五世紀にわたる予想 250 年ごろ、アレクサンドリアのギリシア人ディオファントスは、ある数が四つの平方数の和に書けることを、問題のなかで説明なしに使っています。1621 年、フランスのクロード＝ガスパール・バシェはディオファントスの『算術』のラテン語版を出版し、この主張をはっきり書きました。彼は 325 まで確かめたが証明はわからない、と述べています。 ピエール・ド・フェルマーが有名な書きこみをしたのは、このバシェの本の余白でした。フェルマーは自分の無限降下法で証明したと宣言しましたが、いつものとおり、それを見せることはありませんでした。 オイラーの四十年 オイラーはおよそ四十年にわたって証明を試み、最後までたどりつけませんでした。けれども 1748 年に、いちばん大事な部品を見つけます。四つの平方数の和どうしの積は、また四つの平方数の和になることを示す恒等式です。 $$\begin{aligned} &(a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)\\ &\quad=(ae+bf+cg+dh)^2\\ &\qquad+(af-be+ch-dg)^2\\ &\qquad+(ag-bh-ce+df)^2\\ &\qquad+(ah+bg-cf-de)^2. \end{aligned}$$魔法のように見えますが、両辺を展開するだけです。交差する積はすべて二つずつ打ち消し合います。たとえば $7=2^2+1^2+1^2+1^2$、$15=3^2+2^2+1^2+1^2$ です。恒等式から $$\begin{aligned}105&=7\cdot15=10^2+1^2+0^2+(-2)^2\\&=100+1+0+4.\end{aligned}$$この結果は強力です。どんな数も素数の積です。それぞれの素数が四平方和なら、恒等式によってその積も四平方和になります。したがって、定理は素数について証明すれば十分なのです。 ラグランジュの証明 ここで、1770 年、すでにベルリンにいたラグランジュが登場します。彼の証明は二段階からなり、どちらもフェルマーの降下法の仲間です。 第一段階。 どんな奇素数 $p$ についても、$x^2+y^2+1$ が $p$ の倍数になる $x$ と $y$ が存在します。理由は数え上げです。$x$ を $0$ から $\frac{p-1}2$ まで動かすと、数 $x^2$ は $p$ でわったとき $\frac{p+1}2$ 個の異なる余りを残し、数 $-1-y^2$ も同じです。$\frac{p+1}2+\frac{p+1}2=p+1$ は可能な余り $p$ 個より多いので、鳩の巣原理により、二つのリストのあいだで余りがどこかで重なります。したがって $p$ のある倍数、たとえば $mp$ は四平方和 $x^2+y^2+1^2+0^2$ になります。

October 14, 2026 読んだ
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指数計算：x の x 乗を微分する

ライプニッツの微積分は、$x^3$ や $x^{1/2}$ のように指数が決まったべき乗なら微分できました。$x^n$ の導関数は $nx^{n-1}$ です。ところが 1694 年、ライプニッツへの手紙で、ヨハン・ベルヌーイは奇妙なものをもちだしました。 $$y=x^x$$という式です。底 と 指数が同時に変わります。指数が決まっていないので $x^n$ の規則は使えません。底が決まっていないので $a^x$ の規則も使えません。1697 年、ヨハンは『学術紀要』に「指数計算の原理」を発表し、こうしたべき乗の扱い方を示しました。指数がいろいろな値を走りぬけるので、彼はそれを 走るべき （percurrent）と呼びました。 対数のこつ べき乗を、微分のしかたを知っている積に変えるのが考えどころです。$x>0$ として、両辺の自然対数をとります。 $$\ln y=x\ln x.$$両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律で $\dfrac{y'}y$。右辺は積の微分で $1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac1x=\ln x+1$。したがって $\dfrac{y'}{y}=\ln x+1$ で、 $$\boxed{\frac{d}{dx}\,x^x=x^x\,(\ln x+1).}$$関数そのものではなくその対数を微分するこの技法は、対数微分法 と呼ばれるようになりました。$f>0$ の任意の $y=f(x)^{g(x)}$ に使えます。 $$\ln y=g\ln f\quad\Longrightarrow\quad y'=f^{\,g}\left(g'\ln f+g\,\frac{f'}f\right).$$かっこのなかの二つの項は、二つの変化を数えています。指数の変化 $g'\ln f$ と、底の変化 $g\frac{f'}f$ です。底が決まっていれば第一項だけが残って $\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$ に戻り、指数が決まっていれば第二項だけが残って $nx^{n-1}$ に戻ります。 x の x 乗がいちばん小さくなるところ $x^x$ はいつも正なので、導関数の符号は $\ln x+1$ の符号です。$x<\frac1e$ では負、$x>\frac1e$ では正になります。関数は $x=\frac1e\approx0.368$ まで減り、それから増えます。最小値は $$\left(\frac1e\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx0.692.$$つまり、どんな正の数も、自分自身で累乗して $0.692$ より小さくなることはありません。たとえば $0.5^{0.5}=\sqrt{0.5}\approx0.707$、$0.3^{0.3}\approx0.697$ で、どちらも少し上です。

October 14, 2026 読んだ
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仮想仕事の原理

どのような力のどのようなつりあいにおいても、力がどのように加えられていようと、正のエネルギーの和は負のエネルギーの和に等しい。 — ヨハン・ベルヌーイ、ピエール・ヴァリニョン宛の手紙（1717 年 1 月 26 日） アルキメデス以来、単純機械にはそれぞれ別の説明がありました。てこは腕の長さの法則にしたがい、斜面はステヴィンが考えた力の分解にしたがい、滑車は綱についての議論に、ねじはまた別の議論にしたがう、というぐあいです。1717 年、ヨハン・ベルヌーイはフランスの友人ピエール・ヴァリニョンへの手紙で、これらの法則がすべて ひとつの原理 の特別な場合であることを示しました。 考え方：ほんの少しだけ動かす つりあって止まっている機械を思いうかべてください。それを、頭のなかだけで、ごくわずかな距離だけ動かします。ただし拘束は守ります。てこは支点のまわりに回り、綱はのびず、ブロックは斜面から離れません。この想像上の変位は、実際には起こらないので 仮想 変位と呼ばれます。 力 $F_i$ がはたらく各点は、力の向きにほんの少し $\delta s_i$ 動きます。積 $F_i\,\delta s_i$ がその力の 仮想仕事 です。ヨハンはこれを エネルギー と呼びました。この言葉が今日に近い意味で現れたのは、これが最初です。原理はこう述べます。 $$\boxed{\ \text{つりあいでは、}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ がすべての仮想変位について成り立つ。}\ }$$運動を助ける力の仕事は、運動に逆らう力の仕事に等しい。止まっている機械は、無から仕事をつくりだすことはできません。 アルキメデスのてこ てこの支点から距離 $a$ と $b$ のところに、重さ $P_1$ と $P_2$ があります。てこをごく小さな角 $\delta\theta$ だけ回します。$P_1$ の側は $a\,\delta\theta$ 下がり、$P_2$ の側は $b\,\delta\theta$ 上がります。下がる重さは正の仕事を、上がる重さは負の仕事をします。 $$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$相似な三角形の図をひとつも使わずに、アルキメデスの法則が出てきます。$\delta\theta$ はただ消えるだけです。 滑車 滑車の組み合わせで、重さ $W$ が $n$ 本の綱で支えられ、人が自由端を力 $F$ で引くとします。重さが $\delta h$ 上がると、$n$ 本の綱はそれぞれ $\delta h$ 短くなり、その分の綱がすべて自由端から出てくるので、自由端は $n\,\delta h$ 動きます。したがって

October 14, 2026 読んだ
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根を入れかえる：ラグランジュの定理

1770 年、代数学には二世紀以上も止まったままの問題がありました。2 次方程式には解の公式があり、3 次と 4 次の方程式の解き方も 1545 年にカルダーノが出版していました。ところが 5 次については、だれも何も見つけられませんでした。最高の数学者たちが挑み、4 次までうまくいったどの方法も 5 次でつかえてしまったのです。 ラグランジュは、もう一つ新しい方法を試すことはしませんでした。別の問いを立てたのです。古い方法はなぜうまくいくのか。 この論文で私は、これまでに見いだされた方程式の代数的解法のさまざまな方法を調べ、それらを一般的な原理に帰着させ、それらの方法がなぜ 3 次と 4 次ではうまくいき、それ以上の次数では失敗するのかを、先験的に示すことを目指す。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ『方程式の代数的解法についての考察』（1771） この論文は 200 ページを超え、1770 年と 1771 年にベルリン・アカデミーから出版されました。 根を入れかえる 中心にある考えは、方程式の根でつくった式を見て、根どうしが場所を入れかえたときにその式がどうなるかを調べることです。 2 次から始めましょう。方程式 $x^2+bx+c=0$ の根を $x_1$、$x_2$ とすると、ヴィエト以来 $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=c$$であることが知られています。この二つの式は、$x_1$ と $x_2$ を入れかえても変わりません。だから係数で書けるのです。一方、差 $x_1-x_2$ は変わります。$x_2-x_1$、つまり符号が逆になります。この式は二つの値をとります。けれどもその 2 乗は、ふたたび一つの値しかとらないので、係数で書けます。 $$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=b^2-4c.$$あとは平方根をとるだけです。$x_1-x_2=\pm\sqrt{b^2-4c}$。和と差がわかれば根はすぐに出てきて、結果は 2 次方程式の解の公式になります。公式の $\pm$ は、まさに $x_1-x_2$ がとりうる二つの値の符号なのです。 4 次の秘密 ラグランジュは同じ分析を 3 次と 4 次でもおこないました。4 次では、根を $x_1, x_2, x_3, x_4$ とすると、フェラーリの技法は式 $$t=x_1x_2+x_3x_4$$を見ることにあたります。四つの根の並べかえ方は $4!=24$ 通りありますが、$t$ がとる値は三つだけです。 $$\begin{gathered}x_1x_2+x_3x_4,\\ x_1x_3+x_2x_4,\\ x_1x_4+x_2x_3.\end{gathered}$$この三つの値は、もとの方程式の係数から計算できる係数をもつ3 次方程式の根です。3 次はすでに解けるので、$t$ が求まり、そこから根が求まります。4 次方程式が解けるのは、とる値が四つより少ない根の式が存在するからなのです。

October 14, 2026 読んだ