出典: FUVEST 2021、第 2 フェーズ、2 日目 (数学テスト)、問題 M01 から M05。 公式プルーフはFUVEST コレクションで入手可能です。 FUVEST は第 2 フェーズのテンプレートを公開していません。以下の決議は私たちのものです。

質問 1: 駐車監視

40 m × 100 m の長方形の駐車場には、特定のエリアをカバーするセキュリティ カメラが設置されています。この問題には、面積とパーセンテージの計算が含まれます。

所有者は、図に示すように 4 個の防犯カメラを分散して設置しました。カメラは次の地域をカバーします。

  • 領域 I: カメラ A がカバーするエリア。
  • 領域 II: カメラ B と C がカバーするエリア。
  • 領域 III: カメラ D がカバーするエリア。

a) 領域Iの面積を求めます。

領域 I は、斜辺が 50 m (図に示されている線分) で、脚が 40 m (駐車場の幅) である直角三角形です。これは 3、4、5 (30、40、50) タイプの三角形なので、反対側の長さは 30 m です。

領域 I は、底辺が 30 m、高さが 40 m の三角形です。三角形の面積の公式は次のとおりです。

$$ A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} $$

値を置き換える:

$$ A_\text{I} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2 $$

領域 III も三角形で、底辺は 30 m、高さは 40 m です。同じ公式を使用します。

$$A_\text{III} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$$

値を置き換える:

$$A_\text{III} = \frac{30 \cdot 40}{2} = 600 \text{m}^2$$

b) 領域IIの面積を決定します。

リージョン II は、リージョン I および III がカバーしていない駐車場の中央部分です。間接的に計算できます。

$$ A_\text{II} = A_\text{total} - (A_\text{trapézio I} + A_\text{trapézio III}) $$

駐車場の総面積は次のとおりです。

$$ A_\text{total} = 100 \cdot 40 = 4000 \text{m}^2 $$

値を置き換えます。

$$ A_\text{II} = 4000 - \left(\frac{(5+30)\times 40}{2} + \frac{(10+30)\times 40}{2}\right) = 4000 - (700+800) = 2500 \text{m}^2 $$

c) 駐車エリアのうち何パーセントがカメラで監視されていませんか?

監視されていないエリアは、合計エリアとカメラによってカバーされるエリアの合計 ($A_\text{I} + A_\text{II} + A_\text{III}$) の差です。

$$ A_\text{não} = (A_\text{triângulo não I} + A_\text{triângulo não III}) = \frac{5\times 40}{2} + \frac{10\times 40}{2}= 300 \text{m}^2 $$

総面積に対する非保護エリアの割合は次のとおりです。

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{A_\text{não}}{A_\text{total}} \cdot 100 $$

値を置き換えます。

$$ \text{Porcentagem não vigiada} = \frac{300}{4000} \cdot 100 = 7,5\% $$

質問2:

デカルト平面上の点 $ P_1 = (3, 3) $、$ P_2 = (5, 1) $、$ P_3 = (3, -1) $、$ P_4 = (-2, 5) $ が与えられます。解決する：

  1. $ P_3 $を通り、$ P_1 $と$ P_4 $を通る直線に平行な直線の方程式を求めます。
  2. 点$ P_1 $、$ P_2 $、$ P_3 $を通る円の方程式を求めます。
  3. 項目(2)の円周を$ \mathcal{C} $、原点に最も近い軸$ x $と$ \mathcal{C} $の交点を$ Q $として、$ Q $における$ \mathcal{C} $への接線の方程式を求めます。

(a) $ P_3 $を通り、$ P_1 $と$ P_4 $を通る直線に平行な直線の方程式

  1. $ P_1(3, 3) $ と $ P_4(-2, 5) $ を通る直線の傾き ($ m $) は次のとおりです。

    $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{-2 - 3} = -\frac{2}{5} $$

  2. $ P_3(3, -1) $を通り$ m = -\frac{2}{5} $を持つ直線の方程式は次のようになります。

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    $ x_0 = 3 $、$ y_0 = -1 $、および $ m = -\frac{2}{5} $ を置き換えます。

    $$ y - (-1) = -\frac{2}{5}(x - 3) $$

    $$ y + 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} $$

    $$ y = -\frac{2}{5}x + \frac{6}{5} - 1 = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $$

    チェック: $ x = 3 $、$ y = -\frac{6}{5} + \frac{1}{5} = -1 $、これは点 $ P_3 $ です。

返答: $ y = -\frac{2}{5}x + \frac{1}{5} $、つまり $ 2x + 5y - 1 = 0 $

(b) $ P_1(3, 3) $、$ P_2(5, 1) $、$ P_3(3, -1) $を通る円の方程式

円の一般方程式は次のとおりです。

$$ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 $$

  1. 点の座標を代入して連立方程式を形成します。

    • $ P_1(3, 3) $の場合:

      $$ 9 + 9 + 3D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 18 + 3D + 3E + F = 0 \quad (1) $$

    • $ P_2(5, 1) $の場合:

      $$ 25 + 1 + 5D + E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 26 + 5D + E + F = 0 \quad (2) $$

    • $ P_3(3, -1) $の場合:

      $$ 9 + 1 + 3D - E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 10 + 3D - E + F = 0 \quad (3) $$

  2. このシステムを解決します。

    • (2) から (1) を引くと、次のようになります。

      $$ 8 + 2D - 2E = 0 \quad \Rightarrow \quad D - E = -4 \quad (4) $$

    • (3) から (1) を引くと、次のようになります。

      $$ -8 - 4E = 0 \quad \Rightarrow \quad E = -2 \quad (5) $$

    • (4) の $ E = -2 $ を置き換えます。

      $$ D + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad D = -6 $$

    • (1) の $ D = -6 $ と $ E = -2 $ を置き換えます。

      $$ 18 - 18 - 6 + F = 0 \quad \Rightarrow \quad F = 6 $$

  3. 円の方程式は次のとおりです。

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 {\color{red}{+4}}= 0 {\color{red}{+4}}$$

    $$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 9+1= 4$$

    $$(x-3)^2 + (y-1)^2= 4$$

返答: $ (x-3)^2 + (y-1)^2= 4 $

(c) 原点に最も近い点における円の接線の方程式

  1. 円と軸 $ x $ の交点: 式に $ y = 0 $ を代入します。

    $$ x^2 - 6x + 6 = 0 $$

    私たちは次のことを解決します。

    $$ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 $$

    $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3} $$

    原点に最も近い点は次のとおりです。

    $$ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $$

  2. 接線の傾き: 円の中心は$ (3, 1) $です。中心と点 $ Q $ を結ぶ半径の角度係数は次のとおりです。

    $$ m_\text{raio} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1}{(3 - \sqrt{3}) - 3} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

    接線 (半径に対して垂直) の角度係数は次のとおりです。

    $$ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $$

  3. 接線の方程式: 直線の式に $ Q = (3 - \sqrt{3}, 0) $ と $ m_\text{tangente} = -\sqrt{3} $ を代入します。

    $$ y - y_0 = m(x - x_0) $$

    $$ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $$

返答: $ y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} - 3 $

質問3:

線形システムは次のように与えられます。

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ px + qy = 2 \end{cases} $$
ここで、$ p $ と $ q $ は実数です。次の項目を解決します。
  1. $ p $ と $ q $ のすべての値を決定し、システムが可能かつ不定であるようにします (複数の解が存在します)。
  2. システムが$ (x, y) $と$ x = 0 $の解を持つように、$ p $と$ q $のすべての値を決定します。
  3. システムが解を持たないように、$ p $ と $ q $ のすべての値を決定します。

(a) 可能性のある不確定なシステム

2 つの方程式が線形に依存している場合、つまり一方が他方の倍数である場合、線形システムは可能ですが不定になります。これは次の場合に発生します。

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} = \frac{2}{5} $$

この比率に基づいて $ p $ と $ q $ を計算します。

  1. 関係 $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $ から、次のことがわかります。

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. 関係 $ \frac{p}{2} = \frac{2}{5} $ から、次のことがわかります。

    $$ p = \frac{4}{5} $$

  3. $ p $ を $ q = \frac{3}{2}p $ に置き換えます。

    $$ q = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{5} $$

項目 (a) の答え: システムが可能かつ不定である場合、$ p = \frac{4}{5} $ と $ q = \frac{6}{5} $。

(b) $ x = 0 $ による解決

$ x = 0 $ の場合、両方の式に代入します。

$$ \begin{cases} 2(0) + 3y = 5 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5}{3} \\ p(0) + qy = 2 \quad \Rightarrow \quad qy = 2 \end{cases} $$

2 番目の方程式では、$ y = \frac{5}{3} $ を代入します。

$$ q \cdot \frac{5}{3} = 2 \quad \Rightarrow \quad q = \frac{6}{5} $$

ここで、$ x = 0 $ は $ p $ に依存しないため、$ p $ は任意の値を取ることができます。

項目 (b) の答え: $ x = 0 $、$ q = \frac{6}{5} $、$ p $ を組み合わせた解 $ (x, y) $ を持つシステムの場合、任意の実数を指定できます。

(c) 解決策のないシステム

方程式に矛盾がある場合、つまり、$ x $ と $ y $ の係数は比例しているが、独立項は比例していない場合、システムは (解がなければ) 不可能になります。これは次の場合に発生します。

$$ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} \neq \frac{2}{5} $$

  1. 関係 $ \frac{p}{2} = \frac{q}{3} $ から、次のことがわかります。

    $$ q = \frac{3}{2}p $$

  2. 不整合を確実にするには、$ \frac{p}{2} \neq \frac{2}{5} $、つまり次のようにします。

    $$ p \neq \frac{4}{5} $$

アイテムの応答 (c): したがって、システムには $ q = \frac{3}{2}p $ と $ p \neq \frac{4}{5} $ という解がありません。

質問 4

24 件の工業団地の下水設備は図のような構造になっていました。ポイント $ O $ の検査サービスにより、同じ確率でいずれかの業界から発生した可能性のある禁止物質が検出されました。非正規産業を訴追するために、同局は次の戦略を決定した。初日は地点$ A, B, C, D, E $と$ F $で採取したサンプルに6検査キットを使用し、2日目には初日に汚染されたと特定されたグループのすべての産業の出口で同様の検査を行う。検査サービスが検討したシナリオの 1 つは、 非正規業種がちょうど 4 つあるというものでした。

a) 公園内の 24 産業にちょうど 4 つの非正規産業を分散させる可能な方法は何通りありますか?

b) 不規則な業界がちょうど 4 つある場合、2 日間の検査キットへの総支出が 22 になる確率はいくらですか?

c) 不規則な業種がちょうど 4 つある場合、2 日間に使用される検査キットの合計支出が 14 以下になる確率はいくらですか?

キットの使用方法。 図から各点 $ A, \dots, F $ は 4 つの産業から下水を受け入れ、4 つずつ 6 つのグループを形成します。初日には常に 6 つのキットがあります。 2 日目には、汚染されたグループごとに 4 つのキット (グループ内の業界ごとに 1 つ) の費用がかかります。セ $ k $ グループが汚染されています:

$$ \text{Total de kits} = 6 + 4k $$

(a) 4 個の非正規産業を分散する方法

順序に関係なく、24 業種から 4 を選択するだけです。

$$ \binom{24}{4} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\thinspace 626 $$

答え (a): $ 10\thinspace 626 $ 個の形状。

(b) 22 キットの総支出

$$ 6 + 4k = 22 \quad \Rightarrow \quad k = 4 $$

つまり、4 個の非正規産業は、各グループに 1 つずつ4 個の異なるグループに分かれています。数えるには:

  • 6: $ \binom{6}{4} = 15 $ の中から 4 個の汚染グループを選択します。
  • これらの各グループで、4 業種のうちどれが不規則な業種であるかを選択します: $ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4 = 256 $。
$$ \text{Casos favoráveis} = 15 \cdot 256 = 3\thinspace 840 $$$$ P = \frac{3\thinspace 840}{10\thinspace 626} = \frac{640}{1\thinspace 771} \approx 0{,}361 $$

応答 (b): $ \dfrac{640}{1\thinspace 771} \approx 36{,}1\% $。

(c) キットの合計使用金額が 14 個以下

$$ 6 + 4k \leq 14 \quad \Rightarrow \quad k \leq 2 $$

不規則業種もありますので、$ k \geq 1 $。次の 2 つのケースを数えます。

  • $ k = 1 $ (同じグループ内の 4 は不規則です): グループを選択しますが、グループ全体が不規則です。

    $$ \binom{6}{1} \cdot \binom{4}{4} = 6 \cdot 1 = 6 $$

  • $ k = 2 $ (4 のイレギュラーは正確に 2 グループに広がっています): 2 グループ、$ \binom{6}{2} = 15 $ を選択します。これらのグループの 8 業種のうち、4、$ \binom{8}{4} = 70 $ を選択しましたが、4 がすべて 1 つのグループ内にある 2 ケースは無視しました (これらは $ k = 1 $ ケースにあります)。

    $$ 15 \cdot (70 - 2) = 15 \cdot 68 = 1\thinspace 020 $$
$$ P = \frac{6 + 1\thinspace 020}{10\thinspace 626} = \frac{1\thinspace 026}{10\thinspace 626} = \frac{171}{1\thinspace 771} \approx 0{,}097 $$

応答 (c): $ \dfrac{171}{1\thinspace 771} \approx 9{,}7\% $。

カンファレンス: ケース $ k = 3 $ には $ \binom{6}{3} \cdot 3 \cdot \binom{4}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 20 \cdot 288 = 5\thinspace 760 $ の配布があります。すべてのケースを合計すると、$ 6 + 1\thinspace 020 + 5\thinspace 760 + 3\thinspace 840 = 10\thinspace 626 $ となり、項目 (a) の合計になります。

質問 5

平面図形の周囲とは、輪郭の長さのことです。平面図形の直径は、その図形の輪郭上の 2 点間の最大距離です。次の場合の各平面図の周長と直径の比を計算します。

a) 3 と 4 の辺を持つ長方形。

b) 図1に示す鈍角三角形$ ABC $。

c) 図2に示す半径$ r $の円内の色付きの領域。

(a) 一辺が3と4の長方形

  • 長方形の周囲: $$ P = 2 \cdot (3 + 4) = 14 $$
  • 長方形の直径 (対角線、ピタゴラスの定理で計算): $$ D = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 $$
  • 理由: $$ \frac{P}{D} = \frac{14}{5} = 2{,}8 $$

答え (a): 長方形の直径に対する周囲長の比率は$ 2{,}8 $です。

(b) 鈍角三角形$ \triangle ABC $

$ B $（図の直角の頂点）に対する高さの足を$ H $とし、$ CH = BH = \ell $とします。

  • $\Delta CHB$
$$(BC)^2 = \ell^2+ \ell^2$$

$$(BC) = \ell\sqrt{2}$$
  • $\Delta AHB$
$$(AB)^2 = (2\ell)^2+ \ell^2$$

$$(AB) = \ell\sqrt{5}$$

  • 三角形の周囲:

    $$ P = AB + BC + CA = \ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell $$

  • 三角形の直径 (2 つの頂点間の最大距離):

    • $ AB = \ell\sqrt{5} $ は三角形の最長の辺、つまり $ D = AB = \ell\sqrt{5} $ です。

  • 理由:

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\ell\sqrt{5} + \ell\sqrt{2} + \ell}{\ell\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $$

答え (b): 三角形の周囲と直径の比は$ \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10} + 5}{5} $です。

(c) 半径$ r $の円内の色付き領域

  • 色付き領域の周囲:

    • 色付き領域の輪郭は円弧と弦（垂直線分）で形成されます。
    • ロープは円の外側に$ 120^\circ $の円弧(破線)を切ります。色付きの円弧の寸法は $ 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ $ です。 $$ \text{arco} = \frac{240^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi r = \frac{4\pi r}{3} $$

  • コルダ (2 つの半径と弦で形成される三角形の余弦の法則):

    $$ (AB)^2 = r^2+ r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 120^\circ $$
$$AB = r\sqrt{3}$$

周長は次の式で求められます。

$$P = \frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}$$

  • 直径: この領域には、円上の正反対の 2 つの点 (たとえば、弦の下端とその反対側の円弧上の点) が含まれるため、最大距離は $ D = 2r $ です。

  • 理由:

    $$ \frac{P}{D} = \frac{\frac{4\pi r}{3} + r\sqrt{3}}{2r} = \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6} $$

回答 (c): 着色領域の周囲長と直径の比は$ \frac{4\pi + 3\sqrt{3}}{6}$です。