台形には一対の平行な側面があり、多くのスロープ、屋根、ポケットに隠れている形状です。

発見者

この言葉の現代的な意味はポシドニウス (紀元前1世紀) とプロクロス (紀元5世紀) に由来しており、 ポシドニウスは一対の平行な辺を持つ四角形を、 持たない四角形から分離したと記録している。ユークリッドの場合、台形とは、正方形、長方形、ひし形、平行四辺形ではない四角形のことです。台形の面積、つまり底辺の平均と高さの積は、アレクサンドリアのサギ (西暦 1 世紀) の作品に登場します。

ポシドニウス、後の芸術的表現。
ポシドニウス、後の芸術的表現。Sailko · ウィキメディア コモンズ · CC BY 3.0
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。
アレクサンドリアのサギ、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

基底平均化の同じ考え方は、現代の微積分に到達した手法である台形則にも見られ、曲線の下の面積を台形の帯に分割して近似します。これは、単純な公式が存在しない領域を計算するために工学やコンピューターで使用されます。

2016 で、 歴史家のマチュー・ オッセンドライバーは、紀元前 350 から 50 の間にバビロニアの天文学者がすでに空中ブランコを使って木星が空を移動する距離を計算していたことを示しました。この推論は、ヨーロッパが 14 世紀になって初めて再発見することになります。

日常生活での応用

  • 水路と側溝 用水路は傾斜した堤防が決壊しないように断面が台形になっています。
  • 屋根と破風。 多くの屋根の側面の傾斜は台形です。
  • ステップとスロープ。 踊り場のあるスロープの側面は台形を形成します。
  • 不規則な土地面積。 測量士は、台形定規と同様に、土地を短冊状に分割し、台形の面積を合計します。

出典: Proclus (MacTutor) · アレクサンドリアのヘロン (MacTutor) · Ossendrijver、Science (2016)。

理論と作図

性質任意の台形

底辺 $\overline{AB}$ および $\overline{CD}$ を持つ台形 $ABCD$ では、底辺の各辺に隣接する角度は補足的です: $\hat{A} + \hat{D} = \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$ (平行線間の内部担保)。

定理二等辺台形

  1. 二等辺台形の各底辺の角度は$\hat{C} \equiv \hat{D}$と$\hat{A} \equiv \hat{B}$ で合同です。
  2. 非底面の大きい底面への投影は合同です。
  3. 二等辺台形の対角は合同です。
デモを見る
  1. 小さい方の底面の頂点 $A$ と $B$ を通り、足 $A^{\prime}$ と $B^{\prime}$ で大きい方の底面に垂直を描きます。 $AA^{\prime} = BB^{\prime}$（平行線間の距離）があります。直角三角形 $AA^{\prime}D$ と $BB^{\prime}C$ は特殊な場合 (辺と斜辺 $AD = BC$) により合同なので、$\hat{C} \equiv \hat{D}$ と $A^{\prime}D = B^{\prime}C$ になります。 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ は $\hat{D}$ と $\hat{C}$ を補足するものであるため、$\hat{A} \equiv \hat{B}$ も同様です。
  2. 三角形 $ADC$ と $BCD$ では、$AD = BC$、$\hat{D} \equiv \hat{C}$、$\overline{DC}$ が共通です。 LAL によれば、これらは合同であり、$AC = BD$ です。したがって、$A\hat{C}D \equiv B\hat{D}C$ も同様です。三角形 $PCD$ と $PAB$ ($P$ = 対角線の会合) は二等辺です。
容器の輪郭は二等辺台形に似ています。
容器の輪郭は二等辺台形に似ています。
屋根上の水：材質を計算して台形に。
屋根上の水：材質を計算して台形に。
サーカスの空中ブランコ。
サーカスの空中ブランコ。