2 つの図形は、サイズが異なっていても、同じ形であれば似ています。それは写真、地図、モデルの数学です。

発見者

このアイデアはミレトスの物語の物語にあり、ピラミッドの影と棒の影を比較することでピラミッドの高さを測定したと考えられます。完全な理論はユークリッド (紀元前 300 頃) の原論 の第 VI 巻にあり、角度と比例した辺を持つ相似図形を定義しています。これは、第 V 巻のクニドゥスのエウドクソス (紀元前 4 世紀) による比例理論に依存しており、これにより、不可分セグメント間の比率の処理も可能になりました。

ミレトスのタレス、後の芸術的表現。
ミレトスのタレス、後の芸術的表現。ルカ ジョルダーノ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

影法が手段となった。中世以降、アストロラーベや象限には複雑な計算をせずに塔の高さや井戸の深さを測るために本影直方体と本影正方という２つのスケールを備えた影の四角形が刻まれていました。

古い彫刻: 塔の高さは、観察者の 2 つの位置からの影 (本影の直下と本影の逆) の 2 乗で測定されます。
古い彫刻: 塔の高さは、観察者の 2 つの位置からの影 (本影の直下と本影の逆) の 2 乗で測定されます。オイラーの目ブログのコレクション。

紀元前270 年頃、サモスのアリスタルコスは、相似の三角形を使用して、地球から月と太陽までの相対距離を推定しました。数値は実際の数値とはかけ離れていましたが、空にある類似の三角形を比較するという方法は正しかったのです。

サモス島のアリスタルコス、後の芸術的表現。
サモス島のアリスタルコス、後の芸術的表現。Claudio Camozzi · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

日常生活での応用

  • 写真を拡大します 歪みを与えずに「ズーム」すると、すべての測定値に同じ係数が乗算されます。
  • モックアップとミニチュア。 スケール 1 : 43 のカートの各寸法は、実車の 43 倍小さいです。
  • 影による建物の高さ 建物の​​影と身長が既知の人の影を同時に比較します。
  • プロジェクターとカメラ。 スクリーンまたはセンサー上の画像は物体と同様であり、そのサイズは距離に比例します。

出典: テイルズ (MacTutor) · エレメンツ、第 6 巻 · アリスタルコス (MacTutor)。

理論と作図

定義相似な三角形

2 つの三角形は相似します (記号 $\sim$) が、それらが 3 つの規則的に合同な角と比例した相同な辺を持っている場合に限ります。

$$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$

各三角形の相同辺（ホモ＝同じ、ロゴス＝場所）は各三角形に1つずつあり、互いに合同な角です。 $k$ という数字は類似率です。 $k = 1$ の場合、三角形は合同です。

類似性は再帰的、対称的、推移的です。

比率 $k$ を変更し、コピーを回転します。等しい角度、比例した辺。外周と高さの比率も $k$ になります。比率 $k^2$ の面積。

例類似率で計算する

$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$の場合、$A^{\prime}B^{\prime} = 3$cm、$A^{\prime}C^{\prime} = 7$cm、$B^{\prime}C^{\prime} = 5$cm、$AB = 6$cmでは、比率は$k = \dfrac{6}{3} = 2$となります。つまり$BC = 2 \cdot 5 = 10$cmと$AC = 2 \cdot 7 = 14$cmです。

定理基本定理

直線が三角形の辺の 1 つに平行で、他の 2 辺と異なる点で交差する場合、決定される三角形は最初の三角形と似ています。

$$\overline{DE} \parallel \overline{BC} \Rightarrow \triangle ADE \sim \triangle ABC.$$

デモ

  1. 角度: $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$、$\hat{D} \equiv \hat{B}$、$\hat{E} \equiv \hat{C}$ (相当)、$\hat{A}$ などが一般的です。
  2. 辺: タレスの定理 $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$ による。
  3. $E$で$\overline{EF} \parallel \overline{AB}$を描き、$\overline{BC}$に$F$を入れます。 $BDEF$は平行四辺形なので$DE = BF$、テイルズでは$\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BF}{BC} = \dfrac{DE}{BC}$。
  4. したがって、$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$と三角形は相似です。
$D$ をドラッグ: 平行 $\overline{DE}$ は常に元の三角形に似た三角形を切り取ります。

例基本定理の適用

$AB = 12$cm、$AC = 13$cm、$BC = 15$cmの三角形において、$\overline{DE}$と$\overline{BC}$の平行線は$DE = 5$cmです。次に$\dfrac{x}{12} = \dfrac{y}{13} = \dfrac{5}{15}$、つまり$AD = x = 4$cmと$AE = y = \dfrac{13}{3}$cmです。