Euler's Eyes
2026-10-11
章の演習 9 — ポリゴン
演習と解決策
できれば公式を使用せずに、次の内角の合計を決定します。 a) 凸五角形。 b) 凸六角形。
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a) $540^{\circ}$ · b) $720^{\circ}$ — それぞれ 3 および 4 の三角形に分解します。
(および)、$\overline{AB} \parallel \overline{ED}$) の場合の $x$ の値を決定します。
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a) $70^{\circ}$ b) $110^{\circ}$ c) $90^{\circ}$ d) $120^{\circ}$ e) $120^{\circ}$
以下の場合、図中の線分$\overline{AP}$、$\overline{BP}$、$\overline{CP}$、$\overline{DP}$が角の二等分線であるとして、$x$を求めます。
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a) $110^{\circ}$ ・ b) $52^{\circ}30^{\prime}$ ・ c) $50^{\circ}$ ・ d) $60^{\circ}$
$\hat{A}$と$\hat{C}$から$\overline{AP}$と$\overline{CP}$角の二等分線より$x$を求めます。 a) では、$\overline{AB} \parallel \overline{PC}$ と $\overline{AP} \parallel \overline{BC}$。 b) では、$\overline{AB} \parallel \overline{PC}$。
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a) $100^{\circ}$ b) $150^{\circ}$
内角と外角を決定します。 a) 正三角形; b) 正方形。 c) 正五角形。 d) 正六角形。
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a) $60^{\circ}$ および $120^{\circ}$ ・ b) $90^{\circ}$ および $90^{\circ}$ ・ c) $108^{\circ}$ および $72^{\circ}$ ・ d) $120^{\circ}$ および $60^{\circ}$
三角形$ABP$が等辺、$ABCDE$が正五角形の場合、次の場合の$x$を求めます。
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a) $66^{\circ}$ b) $12^{\circ}$
次の場合の $x$ と $y$ の値を決定します。 a) 正五角形と正方形。 b) 正六角形と正六角形。
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a) $x = 54^{\circ}$ および $y = 63^{\circ}$ b) $x = 30^{\circ}$ および $y = 45^{\circ}$
九角形の内角の合計を計算します。
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$1\,260^{\circ}$
十角形の内角の合計を計算します。
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$1\,440^{\circ}$
正二十角形の内角の合計を計算します。
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$3\,240^{\circ}$
内角の合計が$1\,800^{\circ}$となる多角形は何ですか?
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十二角形
十角形の対角線の数を計算します。
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35
正二十角形の対角線の数を計算します。
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170
対角線の数が辺の数の 3 倍である多角形を見つけます。
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エネゴン
対角線の数が辺の数の 4 倍である多角形を決定します。
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ウンデカゴン
9 個の異なる対角線を持つ多角形を決定します。
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六角形
内角が$3 : 3 : 3 : 4 : 5$の比率にある五角形の最大の角度を求めます。
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$150^{\circ}$
正多角形は、頂点の 1 つから、六角形の対角線と同じ数の対角線を持ちます。検索: a) 多角形。 b) 対角線の総数。 c) 内角の合計。 d) 外角の合計。 e) 各内角と各外角の寸法。
この本の解像度を参照してください
- 六角形の対角線は $d = \dfrac{6 \cdot 3}{2} = 9$ です。
- 各頂点 $n - 3$ から対角線が出発します: $n - 3 = 9 \Rightarrow n = 12$。
a) 十二角形。 b) $d = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$; c) $S_i = 10 \cdot 180^{\circ} = 1\,800^{\circ}$; d) $S_e = 360^{\circ}$; e) $a_e = \dfrac{360^{\circ}}{12} = 30^{\circ}$ および $a_i = 150^{\circ}$。
20辺の凸多角形の頂点から対角線は何本描けるでしょうか？
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17
対角線が頂点 25 の 1 つから離れることを知って、凸多角形の辺の数を決定します。
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28
内角の和が対角線の数×$180^{\circ}$に等しい凸多角形を求めます。
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四角形
正多角形の内角と外角は同じ大きさになるでしょうか?これはどのような場合に発生しますか?
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はい、正方形（$90^{\circ}$と$90^{\circ}$）にあります。
外角が$24^{\circ}$の正凸多角形の対角線の数を求めます。
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90
正多角形の内角と外角の比は9です。多角形の辺の数を決定します。
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20
正多角形の内角は外角の1,5倍です。多角形の辺の数を決定します。
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5
正多角形の外角は内角の2倍に等しい。この多角形の対角線の数を決定します。
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ゼロ (これは 正三角形: $a_e = 120^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}$)。
正多角形の内角と外角の和は$1\,800^{\circ}$です。多角形の対角線の数を決定します。
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35
内角が外角の5倍である正凸多角形の辺の数を求めます。
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12
角$\hat{A}$と$\hat{C}$の角の二等分線$\overline{AP}$と$\overline{CP}$が内角$\dfrac{2}{9}$に相当する角度を成すことがわかるので、正多角形$ABCDE\ldots$の辺の数を求めます。
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20
辺が20の正多角形$ABCD\ldots$の辺$\overline{AB}$と$\overline{CD}$の延長線がなす角度を求めます。
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$36^{\circ}$ または $144^{\circ}$
正多角形の連続する 2 辺の 垂直二等分線 は、$24^{\circ}$ の角度を形成します。この多角形の対角線の数を決定します。
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90
多角形の辺の数を 3 増やすと、対角線の数は 21 ずつ増えます。この多角形の対角線の数を決定します。
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14
下の図で、角度の合計 $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} + \hat{e} + \hat{f}$ を求めます。
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$300^{\circ}$
それぞれ $n$ と $n + 6$ の辺を持つ 2 つの多角形があるとすると、一方の多角形の対角線が他方よりも 39 多いことがわかっているので、$n$ を計算します。
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$n = 5$
3 つの凸多角形はそれぞれ $n$、$n + 1$、$n + 2$ の辺を持ちます。 $2\,700^{\circ}$は3つの多角形の内角をすべて足したものなので、$n$の値を求めます。
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$n = 6$
3つの多角形の辺の数を表す数字は$n - 3$、$n$、$n + 3$です。すべての内角の合計が $3\,240^{\circ}$ であることがわかっているので、各多角形の対角線の数を決定します。
この本の解像度を参照してください
ポリゴンには 5、8、および 11 の辺があるため、対角線は $d_1 = 5$、$d_2 = 20$、および $d_3 = 44$ になります。
3 つのポリゴンは、連続する整数で表される辺の数を持ちます。 3 つの多角形の対角線の合計が 28 であることがわかっているので、対角線の数が最も多い多角形を決定します。
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ヘプタゴン
２つの凸多角形の辺の数は$n$と$n + 4$の数字で表されます。一方の多角形の対角線が他方よりも 34 多いことがわかっているので、$n$ の値を決定します。
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$n = 8$
凸多角形には、他の凸多角形よりも 5 個多くの辺があります。対角線の総数が 68 であることがわかっているので、各多角形の対角線の数を決定します。
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14 および 54
それぞれ $n + 1$ 辺と $n$ 辺を持つ 2 つの正多角形があるとすると、最初の多角形の内角が 2 番目の内角を $5^{\circ}$ だけ超えることがわかっているため、$n$ が決定されます。
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$n = 8$
正多角形には、中心を通らない対角線が 30 個あります。それぞれの内角の長さはどれくらいでしょうか?
この本の解像度を参照してください
正多角形は、$n$ が偶数の場合にのみ中心を通る対角線を持ち、その場合は $\dfrac{n}{2}$ が正多角形になります。
- $n$ 奇数: $d = 30 \Rightarrow n^2 - 3n - 60 = 0$、自然なルートはありません。それは機能しません。
- $n$ パー: $d = \dfrac{n}{2} + 30 \Rightarrow \dfrac{n(n-3)}{2} = \dfrac{n}{2} + 30 \Rightarrow n^2 - 4n - 60 = 0 \Rightarrow n = 10$。
正十角形の$a_e = 36^{\circ}$と$a_i = 144^{\circ}$です。
中心を通る対角線が6ある正多角形は何ですか?
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十二角形
正多角形の対角線は 170 個です。センターを通過するのは何人ですか？
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10
正多角形の内角は$140^{\circ}$です。中心を通る対角線は何本？
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なし（辺の数が奇数の九角形です）。