Euler's Eyes
2026-10-11
子どものための数学
160 / 178 ページ
偏心角
角度の頂点が円の内側または外側にあり、中心または円上にない場合、その角度は偏心しており、その尺度は 2 つの円弧の平均になります。
発見者
偏心角の公式は原論には記載されていませんが、ユークリッドの命題III.20（内接角）とI.32（三角形の外角）を組み合わせたものから直接得られます。これらに関連する最も有名な問題の 1 つは、著者によるものです。1471 で、 ドイツの天文学者レギオモンタヌスは、 台座の上にある彫像が可能な最大の角度からどのくらいの距離から見えるかを尋ねました。
歴史
レギオモンタヌスの答えは外偏心角を使用しています。地面のどの位置からでも、彫像は 2 つのアーチの差の半分の角度で見えます。最も大きな角度は、足と像の頂上を通る円周が地面に接するときに発生します。これは、計算なしで解決された史上初の最大問題の 1 つでした。
同じ理由がラグビーにも現れます。トライの後、キッカーはラインに沿って、可能な限り最大の角度からポストが見える点を選択します。
日常生活での応用
- 美術館 目の上に掛けられた絵画を見るのに最適な距離は、レジオモンタヌスの問題からです。
- ラグビー。 コンバージョン ポイントの選択も同じ原則に従います。
- 映画。 最初の行では、スクリーンは大きく、しかし非常に傾いた角度から見られます。偏心した角度は、部屋の中央が最適な理由を説明します。
- 写真。 背の高い物体をフレームに収めるために、写真家はその物体が視野の最大の角度を占める点を探します。
出典: Regiomontanus (MacTutor) · 要素、命題 III.20 · 要素、命題 I.32。
理論と作図
定理内外偏心角
- 内部: 2 つの弦が中心とは異なる内部の点で交差する場合、それらの間の角度は、弦とその反対側の頂点が見る円弧のセミソマを測定します: $x = \dfrac{a + b}{2}$。
- 外側: 2 つの割線 (または接線、またはそれぞれ 1 つ) が外側の点から離れる場合、それらの間の角度によって、 遮断された円弧の半差が測定されます: $x = \dfrac{a - b}{2}$。
正当性。 内角の場合、$x$ は、隣接しない 2 つの内角が内接する三角形の外角で、測定値は $\dfrac{a}{2}$ と $\dfrac{b}{2}$ です。海外では、$\dfrac{a}{2}$は内角$x$と$\dfrac{b}{2}$を持つ三角形の外角です。
