FUVEST 2023 – 第 1 フェーズ: 数学の解決

出典: FUVEST – 証拠 (バージョン V) および公式解答キー 第 1 段階の一般知識テスト (04/12/2022 で適用)。

FUVEST の第 1 フェーズ 2023 には、すべての被験者から 90 件の質問がありました。この投稿がもたらすのは、 数学の問題: 21、22、24、36、58、84 ～ 90。番号付けは次のとおりです 証明 V;他のバージョン (K、Q、X、Z) では、同じ質問が別のバージョンで表示されます。 注文。質問 58 は学際的な問題 (CO₂ 排出量) ですが、次のように解決されます。 グラフの読み取りと面積の推定、それがここにある理由です。

テンプレート

質問 21: 累進割引のある米の価格 (関数)

声明

有機物産展ではお米が量り売りされています。フェアマネージャー に基づいて、米の販売に段階的な割引を提供することを決定しました。 次の基準:

• 正確に 1 kg の米を購入した人は、R$ 5,00 を支払います。
• 顧客が購入する数量が多ければ多いほど、支払われる合計金額も大きくなります。
• 顧客が購入する量が多ければ多いほど、1 キロあたりの価格は安くなります。

リストされている各選択肢は、合計を求める可能な計算式を示しています。 顧客は、キロ単位で $x$ 個の米を購入した場合、レアルで支払います。 確立された基準を満たす唯一の代替案は次のとおりです。

• A) $5x^2$
• B) $5\sqrt{x}$
• C) $\dfrac{5}{x}$
• D) $5x$
• E) $5x - x^2$

解決

$x$ キロの支払総額を $T(x)$ に呼び出します。そのキロあたりの価値は、 $\dfrac{T(x)}{x}$。 3 つの基準には次のようなものがあります。

1. $T(1) = 5$;
2. $T(x)$ は増加しています。
3. $\dfrac{T(x)}{x}$ は減少しています。

1。それぞれの選択肢をテストする。

2。結論 $T(x) = 5\sqrt{x}$ のみが 3 つの基準を満たします: 5 は次の場合に有効です。 $x = 1$、$x$ とともに増加し、1 キロあたりの価格は $\dfrac{5\sqrt{x}}{x} = \dfrac{5}{\sqrt{x}}$、 $x$が増加すると減少します。たとえば、4 kg のコストは $5\sqrt{4} = 10$ レアル、または つまり、1 キロあたり R$ 2,50 になります。

答え: 代替 B ($5\sqrt{x}$)。

落とし穴に注意してください: 代替 D ($5x$) は最初の 2 つを満たします ただし、キロあたりの価格は常に R$ 5,00 です。割引はありません。 代替案 C では 1 キロ当たりの価格は下がりますが、合計でも下がります。 2 番目の基準に反します。

確認するには、関数の概念.

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質問 22: 携帯電話の等差数列の分割払い

声明

ジョアナは携帯電話を購入し、支払いを 24 の月々の分割払いに分割しました。 増加する等差数列。最初の 3 回の分割払いは、 R$ 120,00、R$ 126,00、R$ 132,00。それを知りながら、最終的にはジョアナが 19 回目の分割払いを支払わなかった場合、支払われた金額は次のとおりです。

• A) R$ 3.954,00
• B) R$ 4.026,00
• C) R$ 4.200,00
• D) R$ 4.308,00
• E) R$ 4.382,00

解決

1。 PA を特定します。 最初の項は $a_1 = 120$ で、その理由は次のとおりです。 $r = 126 - 120 = 6$。一般用語は$a_n = a_1 + (n-1)r$です。

2。最終回です。

3。 24 の分割払いの合計。

4。未払いの分割払いです。

5。支払った金額です。

答え: 代替 D (R$ 4.308,00)。

確認するには、等差数列.

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質問 24: エタノールとガソリンの価格の比率

声明

アンドレとビアンカはエタノールやガソリンを燃料にできる車を持っています または 2 つの燃料の混合物。同じガソリンスタンドで、アンドレ エタノール ポンプから 18 リットル、燃料ポンプから 32 リットルを車に充填しました。 ガソリン;ビアンカはすでにエタノール ポンプからの 30 リットルと 20 リットルを車に充填しました。 ガソリンポンプからのリットル。アンドレが支払った総額が 10% であることが判明 ビアンカが支払った価格よりも高い、エタノールとエタノールの 1 リットル当たりの価格との比率 ガソリンは次のとおりです。

• A) $5/8$
• B) $2/3$
• C) $7/10$
• D) $3/4$
• E) $4/5$

解決

$e$ をエタノール 1 リットルの価格、$g$ をガソリン 1 リットルの価格としましょう。

1。方程式を設定します。 アンドレは $18e + 32g$ を支払いました。ビアンカは $30e + 20g$ を支払いました。 「10% 大きい」とは、ビアンカの値に $1{,}1$ を乗算することを意味します。

2。原因を切り分けます。

3。数字で確認します。 $e = 2$ と $g = 3$ で: アンドレが支払います。 $36 + 96 = 132$、ビアンカは $60 + 60 = 120$ を支払います。と$132 = 1{,}1 \cdot 120$。右。

答え: 代替 B ($2/3$)。

確認するには、パーセンテージの基本.

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質問 36: ピタゴラス音階 (累乗)

声明

音楽理論では、2 つの音符間の間隔は、それらの音の比率によって測定されます。 周波数 (Hz 単位で測定)。ピタゴラス音階では、1 の間隔 トーン そしての 1つ 半音 それぞれの理由に対応します $\frac{9}{8}$ そして $\frac{256}{243}$。間隔の合計は比率の積に対応します。によって たとえば、2 音区間では、周波数間の比率は次のようになります。 $\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} = \frac{81}{64}$.

ピタゴラス音階に従って調律された楽器では、 220 Hz の音と 990 Hz の音は $n$ 音と $m$ 半音で構成されます。 合計 $m + n$ は次と等しい:

• A) 13
• B) 14
• C) 15
• D) 16
• E) 17

解決

1。周波数間の比率。 間隔は比率によって測定されます（周波数間の比率ではありません）。 違い):

2。方程式を組み立てます。 $n$ 音と $m$ 半音が積に対応します。

3。素因数分解 $\frac{9}{8} = \frac{3^2}{2^3}$、 $\frac{256}{243} = \frac{2^8}{3^5}$と$\frac{9}{2} = \frac{3^2}{2^1}$。それから

4. 指数を比較する (素因数分解は独特です):

最初から$n = \dfrac{2 + 5m}{2}$。 2番目に置き換えます: $16m - 3(2 + 5m) = -2$、つまり $16m - 6 - 15m = -2$、次に $m = 4$、 $n = \dfrac{2 + 20}{2} = 11$。

5。会議 $2 \cdot 11 - 5 \cdot 4 = 2$ および $8 \cdot 4 - 3 \cdot 11 = -1$。右。 次に$m + n = 4 + 11 = 15$。

答え: 代替 C (15)。

確認するには、整数のべき乗.

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質問 58: 1950 と 1990 間の CO₂ 排出量の合計 (グラフの読み取り)

声明

グラフは日本のCO₂排出量（億トン）を示しています。 年関数。

https://www.bbc.com/. で入手可能です。

1950 年から 1990 年までの CO₂ 排出総量 (数十億トン)、 の間にあります

• A) 1 e 5.
• B) 5 e 100.
• C) 100 e 300.
• D) 300 e 800.
• E) 800 e 1000.

解決

グラフは年間の排出量を示しています。 1950から1990までに発行された合計は、 約 40 年からの排出量。ハイライト表示された領域の面積に相当します。 (暗く) カーブの下。

1。グラフを読んでください。 この期間中、曲線は増加しています。 1950 での放送は 約6億トン。 1970、15 付近。 1990 の少し上 20から(22くらい)。

2。期間の各半分を制限します。 カーブが成長するにつれて、各ストレッチで 年次発行は開始値と終了値の間にあります。

• 1950 から 1970 (20 年): $20 \cdot 6 = 120$ から $20 \cdot 15 = 300$ の間。
• 1970 ～ 1990 (20 年): $20 \cdot 15 = 300$ ～ $20 \cdot 22 = 440$ の間。

合計すると、合計は $120 + 300 = 420$ から $300 + 440 = 740$ 億になります。 トン。

3。直接推定。 底面 6 と 22 の台形で領域を近似し、 身長 40 年:

2 つのアカウントは、300 から 800 までの値を指します。

答え: 代替案 D (300 と 800 の間)。

キャッチに注意してください: 代替 B (5 と 100) は軸だけを見る人を惹きつけます 垂直方向、年間値の範囲は約 5 から 22 です。問題は合計です。 期間の合計、つまり 40 年間の排出量の合計。

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質問 84: アセンブルテスト (組み合わせ)

声明

教師は 2 つの試験からなる学際的なテストを準備する必要があります。 数学から 6 問、物理から 6 問。彼はさまざまな質問の中から質問を選択しなければなりません 数学から 3 問、物理学から 8 問が含まれるデータ。検査数 質問が表示される順序を考慮せずに、次のようなことが考えられます。

• A) 42
• B) 54
• C) 62
• D) 72
• E) 84

解決

順序は関係ないので、 それぞれの選択肢は組み合わせとなります。

1。数学の質問: 3 から 2 を選択してください:

2。物理学の質問: 8 から 6 を選択します (2 を選択するのと同じです)。 は省略されます):

3。乗法原理。 数学の各選択は以下と組み合わせることができます。 各物理学の選択:

答え: 代替 E (84)。

確認するには、パスカルの三角形.

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質問 85: FIFA ランキング (指数および対数)

声明

FIFA(国際サッカー連盟)が実装した2018では、最も 最近のセレクションのランキング。スコアのある選択 A と B を仮定します。 $P_A$ と $P_B$ はそれぞれワールドカップ決勝に出場します。スコア 試合後の選択 A の更新は、

どこ

$V_A$ の値は、表に従って一致の結果によって異なります。

$P_A - P_B = 360$ であることがわかっているため、選択 A が試合に勝った場合、そのスコアは によって増加します

• A) 6 ポイント。
• B) 10 ポイント。
• C) 12 ポイント。
• D) 15 ポイント。
• E) 20 ポイント。

注意して採用してください: $\log_{10} 2 = 0{,}3$

解決

1。指数。 $\dfrac{P_A - P_B}{600} = \dfrac{360}{600} = 0{,}6$。

2。データを使用して $10^{0{,}6}$ を計算します。 $\log_{10} 2 = 0{,}3$ として、 $10^{0{,}3} = 2$。それから

3。結果の期待です。

4。勝利時のスコア増加($V_A = 1$):

答え: 代替 C (12 ポイント)。

確認するには、対数のプロパティ.

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質問 86: 不規則な石（円柱）の体積

声明

不規則な形の石の体積を測定するために、アナは容器を使用しました 半径$r = 8$cmの円筒形で、高さ20cmまで水が入っています。を配置した後、 容器の中に石を入れると、水の高さは 23,5 cm まで上がりました。

石の体積は次のとおりです。

• A) $128\pi$ cm³
• B) $224\pi$ cm³
• C) $240\pi$ cm³
• D) $282\pi$ cm³
• E) $320\pi$ cm³

解決

完全に水に沈んだ石は、同量の水の代わりになります。だからこそ、 レベルが上がる：石の体積は上がった水の「円柱」 の体積です。

1。水位上昇 $23{,}5 - 20 = 3{,}5$ cm。

2. このシリンダーの体積 (半径8cm、高さ3.5cm):

答え: 代替案 B ($224\pi$ cm³)。

確認するには、円の領域.

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質問 87: 原始 (素数)

声明

自然数 $n \geq 2$ が与えられたとき、$n\\#$ で示される $n$ の素数は、 $n$ 以下のすべての素数の積。例えば、

$2000$ より大きい形式 $n\\#$ の最小の数値は次のとおりです。

• A) 2300
• B) 2305
• C) 2310
• D) 2312
• E) 2322

解決

素数は $n$ が素数を通過するときにのみ変化するので、そのまま行ってください。 素数を順番に乗算します。

2000 の下の最後の値は 210 ($7 \leq n \leq 10$ の場合) です。次のものは、 $n = 11$ (さらに $n = 12$) は $2310$ であり、2000 より大きい最初の値です。

代替案による会議: $n \geq 5$ を持つ原基は次の倍数です。 $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$。オプションのうち、2310 のみが 30 の倍数です (2300 と 2305 は倍数ではありません) 3 の倍数。 2312 と 2322 は 5 の倍数ではありません)。

答え: 代替 C (2310)。

確認するには、素数.

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質問 88: 均一な床タイル (正多角形)

声明

タイリングが次のような正多角形で構成されている場合、均一と呼ばれます。 平面全体を重ならずに埋め、しかもそれぞれのパターンが同じである 頂点。それらを分類するには、次のシーケンスによって与えられる表記を使用します。 このように定義された数値: 任意の頂点を選択し、 この頂点を含む各多角形の方向に沿った辺の数 例に示すように、辺が最も少ないポリゴンから始めて反時計回りに移動します。

写真はセビリアの美術館の床です。

床のタイル パターンを表す表記は次のとおりです。

• A) (3 . 3 . 3 . 4)
• B) (3 . 3 . 4 . 6)
• C) (3 . 4 . 4 . 4)
• D) (3 . 4 . 4 . 6)
• E) (3 . 4 . 6 . 4)

解決

1。内角 写真内の多角形は三角形 (60°)、正方形です。 (90°)と正六角形(120°)。各頂点で角度を追加する必要があります まさに$360^\circ$です。

2。各選択肢の合計をテストします。

3。写真の順序を見てください。 これで、同じポリゴンが順番に配置された D と E が残ります。 違う。写真では、各頂点に三角形、正方形、六角形があり、 別の正方形: この2 つの正方形は隣接していません。それらは次のように区切られています。 片面は三角形、もう片面は六角形です。三角形から開始して回転 反時計回り: 三角形、正方形、六角形、正方形、つまり (3 . 4 . 6 . 4)。

答え: 代替 E (3 . 4 . 6 . 4)。

落とし穴に注意してください: 代替 D には同じポリゴンがあり、また 360° を追加しますが、2 つの正方形を並べて配置します。表記は、 頂点を中心とした多角形の順序 で、写真では正方形です。 別れた。

確認するには、正多角形.

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問題 89: 扇形のない正方形の面積 (解析幾何学)

声明

デカルト平面の領域を考えてみましょう

図にスケッチしました。

$B = \\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : (x + 1)^2 + y^2 \geq 1\\}$ を指定すると、領域の面積 $A \cap B$ は次のとおりです。

• A) $2 - \frac{\pi}{4}$
• B) $2 - \frac{\pi}{2}$
• C) $4 + \frac{\pi}{2}$
• D) $4 - \frac{\pi}{4}$
• E) $2 + \frac{\pi}{2}$

解決

1。領域 $A$ は、頂点 $(1,0)$、$(0,1)$、$(-1,0)$、および $(0,-1)$。その対角線の長さは 2 なので、その面積は次のようになります。

2。領域 $B$. $(x+1)^2 + y^2 \geq 1$ は外側（または端）の点です。 中心$(-1, 0)$、半径1の円の。したがって、$A \cap B$ は正方形 $A$ から 彼の中にあるこの輪の一部です。

3。 $A$ 内の円の部分。 中心 $(-1, 0)$ は、 正方形、内角は$90^\circ$です。この頂点を離れる辺が測定されます $\sqrt{2} > 1$、他の2つの側面は遠くにあります $\frac{|-1 - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} > 1$を中央から。したがって、円の部分は、 正方形の内側はちょうど 90° の 扇形 1 つ (円の 4 分の 1) です。

4。リクエストされたエリアです。

答え: 代替 A ($2 - \frac{\pi}{4}$)。

落とし穴に注意してください: 代替 B ($2 - \frac{\pi}{2}$) は半額になります 丸。しかし、正方形の中に入るのは円の 4 分の 1 だけです。 頂点$(-1, 0)$の正方形は直線です。

確認するには、円の領域.

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質問 90: 対数関数グラフ

声明

デカルト平面では、点 $(3, 2)$ と $(5, 4)$ は関数のグラフに属します。 によって与えられた

$a + b$ の値は次のとおりです。

• A) $-8$
• B) $-6$
• C) $0$
• D) $4$
• E) $8$

解決

1。対数定義を使用します。 $y = \log_2(ax + b)$ は次と同等です。 $ax + b = 2^y$。

• ポイント$(3, 2)$: $3a + b = 2^2 = 4$。
• ポイント$(5, 4)$: $5a + b = 2^4 = 16$。

2。システムを解決します。

2 番目の値から 1 番目の値を減算します: $2a = 12$、次に $a = 6$、 $b = 4 - 18 = -14$。

3。会議 $\log_2(6 \cdot 3 - 14) = \log_2 4 = 2$ および $\log_2(6 \cdot 5 - 14) = \log_2 16 = 4$。右。

答え: 代替 A ($-8$)。

復習するには、対数表の概要.

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