以前の投稿では、特に仮置、定理、系などを定義しました。定理を証明するには、 与えられた命題が真理値表を通して得られるトートロジーであることを意味します。以下に、結果を実証するためのいくつかの方法を紹介します。

演繹法

演繹的方法は、定義およびその他の事前に確立された結果を使用して得られます。このために、含意 $(\Rightarrow)$ と論理的二重含意 $(\Leftrightarrow)$ を使用します。

例 1: 次の文で、それが定理であるかどうかを示します。これについては、次のような仮説が考えられます。

  • $H_1$: 時は金なり。
  • $H_2$: お尻には時間がたくさんあります。

そして論文はこうだ。

  • $T$: トランプはたくさんのお金を持っています。

命題$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$は定理ですか?

次のように仮定してみましょう:

  • $p$: 「時間があります」。
  • $q$: 「お金を持っています」。
  • $r$: 「ポンコツであること」。

と：

  • $H_1$: $p\wedge q$ (時間とお金がある)。
  • $H_2$: $q\rightarrow r$ (お金があるということは、クズであることを意味します)。
  • $T$: $r\rightarrow q$ (ポンコツであるということは、お金があるということを意味します)。

これにより、次のような命題を書くことができます。

$$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$

仮説 1 と仮説 2 はテーゼを意味します。

トートロジーはどのようにして成立するのか:

$$(p\rightarrow q)\wedge (r \rightarrow p) \Rightarrow (r \rightarrow q)$$

(時間があるということはお金があるということを意味します) そして(バズであるということは時間があるということを意味します) は(バズであるということはお金があるということを意味します)。

したがって、与えられた命題は定理です。

実際的な観点から見ると、この結果は意味を成さないかもしれませんが、使用されるステートメントによっては、不合理な結果に到達する可能性があります。

例 2: 次の文で、それが定理であるかどうかを示します。これについては、次のような仮説が考えられます。

  • $H_1$: 私はそう思う、だから私はそうである。
  • $H_2$: 石は考えません。

そして論文はこうだ。

  • $T$: 石は存在しません。

命題$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$は定理ですか?

次のように仮定してみましょう:

  • $p$: 「考える」。
  • $q$: 「存在します」。

と：

  • $H_1$: $p\rightarrow q$ (思考は存在を暗示します)。
  • $H_2$: $\sim p$ (考えないでください)。
  • $T$: $\sim q$ (存在しません)。

これにより、次のような命題を書くことができます。

$$H_1 \wedge H_2 \Rightarrow T$$

仮説 1 と仮説 2 はテーゼを意味します。

これはトートロジーではないので、次のようになります。

$$(p\rightarrow q)\wedge (\sim p) \Rightarrow (\sim q)$$

（考えるということは存在することを暗示します）そして（考えないこと）は（存在しないこと）を暗示します。

したがって、 与えられた命題は定理ではないということになります。

この最後の結果は定理ですらないので、結果ですらない。これでは不条理も当然だ。

デモンストレーション方法

このセクションでは、定理 $p\Rightarrow q$ の証明方法を示します。ほとんどの損益計算書は、次の 3 つの方法のいずれかに分類されます。

  • 直接法。
  • 対比法。
  • 矛盾によるメソッド (Reduction ad absurdum)。

直接法

この方法は、命題 $p$ が真であり、その結果、命題 $q$ が論理的等価であると仮定した演繹法から得られます。したがって、目的は $q$ が真であると推測することです。

例 3: $x$ が偶数の整数の場合、$x^2$ は偶数の整数です。

デモンストレーション:

この結果を構築するには、命題 $p$ が真、つまり $x$ が偶数の整数であると仮定します。

結果として、$x$ は 2 で割り切れます (偶数に関する投稿を参照)。

定義により、$x$ は 2 の倍数です。

したがって、$x = 2n$のような$n\in \mathbb{Z}$が存在します。

等式の両辺を二乗すると、次のようになります。

$$x^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2)=2m, \qquad \text{para algum } m\in \mathbb{Z}$$

したがって、$x^2$ は偶数の整数になります。

$\square$

対比法

対置法は論理的に等価に得られます。

$$p \rightarrow q \Longleftrightarrow ~ \sim q \rightarrow \sim p$$

より具体的に、定理を実証するには、次のようにします。

$$p \Rightarrow q$$

直接法を使用して簡単に説明してみましょう。

$$\sim q \Rightarrow \sim p$$

例 4: $x$ が整数で、$x^2$ が奇数の場合、$x$ は奇数の整数になります。

デモンストレーション:

$p$ と $q$ を命題とします。

  • $p$: $x^2$ は奇数の整数です。
  • $q$: $x$ は奇数の整数です。

そして、$p \Rightarrow q$ の意味を証明したいと考えています。この場合、$x^2$ が奇数の整数であると仮定すると、$x^2 = 2n+1$ となるような $n\in \mathbb{Z}$ が存在するため、直接法は適用されません。

これでは、$x = 2m+1$ などの $m\in \mathbb{Z}$ があるとは推測できません。

代わりに、論理的等価性を使用しましょう。

命題 $\sim q: $ $x$ が奇数真ではない、つまり $x$ が偶数であると仮定します。

直接法の例から、この結果は $\sim p:$ $x^2$ が奇数ではない、つまり $x^2$ が偶数であることを意味していることがわかります。

したがって、$p \Rightarrow q$となります。

$\square$

矛盾による方法

矛盾法は論理的等価性で得られます。

$$p \rightarrow q \Longleftrightarrow ~ (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$$

より具体的に、定理を実証するには、次のようにします。

$$p \Rightarrow q$$

簡単に示してみましょう。

$$(p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$$

そして、$p$ が真であれば、$\sim p$ も真であると結論付けるため、不条理に到達します。この場合、次のような結果が得られます

$$p \wedge \sim p$$

それは真実ですが、それは矛盾しています。

例 5: $x$ が整数で、$x^2$ が偶数の場合、$x$ は偶数の整数です。

デモンストレーション:

$p$ と $q$ を命題とします。

  • $p$: $x^2$ は偶数の整数です。
  • $q$: $x$ は偶数の整数です。

そして、$p \Rightarrow q$ の意味を証明したいと考えています。

直接法では、$(p \wedge \sim q)$ が true であると仮定します。

  • $x^2$は偶数の整数です。
  • $x$ は奇数です。

これから、$n \in \mathbb{Z}$ に対する $x=2n+1$ が得られます。

等式の両辺を二乗すると、次のようになります。

$$x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1 = 2m+1$$

一部の $m\in \mathbb{Z}$

これは、$\Longrightarrow$ が $x^2$ が奇数の整数 ($\sim p$) であることを意味します。したがって、$x^2$ を偶数と仮定すると、不条理に達します。

このように、結果を実証するためのいくつかのテクニックをまとめます。