内接多角形と中心半角の正弦

2 本のスポーク間のロープ

半径$R$の円に辺が$n\ge3$の正多角形を内接します。隣接する 2 つの頂点を中心 O に接続します。形成される三角形は、多角形の $R$ に等しい 2 つの辺と、辺 $\ell$ に等しい底辺を持ちます。

$n$ 個の等しい中心角で 1 回転が完了します。それぞれ$360°/n$を測定します。この三角形の高さを O から描きます。対称にするために、底辺と中心角を半分にカットします。

半分の 1 つに直角三角形が表示されます。 Oの角度は$180°/n$、斜辺は$R$、反対側は$\ell/2$です。

鋭角の正弦を斜辺に対する反対側の比率として定義します。したがって：

$$\sin\frac{180°}{n}=\frac{\ell/2}{R}=\frac{\ell}{2R}.$$

絶縁側の長さ:

$$\ell=2R\sin\frac{180°}{n}.$$

半径1の円周上では、関係は$\sin(180°/n)=\ell/2$に減少します。高校では、同じ角度の単位を $\pi/n$ ラジアンと書きます。

正六角形は半径によって 6 つの正三角形に分割できます。それぞれの中心角は $360°/6=60°$ になります。したがって、六角形の辺は $R$ になります。

$n=6$ と $\ell=R$ を置き換えます:

$$\sin30°=\frac{R}{2R}=\frac12.$$

サインには単位がありません。同じ単位で測定された長さの比率です。半径を 2 倍にすると辺も 2 倍になりますが、商は変わりません。

日常のポリゴン: 8 辺、STOP 標識。 6は六角ナットです。文字列は$2r\operatorname{sen}\frac{\theta}{2}$です。

1. 正内接六角形の半径は7 cmです。その辺と周囲の長さを計算します。

解像度確認1

辺の大きさは7cmです。周長は$6\cdot7=42$cmです。

2. 内接正方形の辺は $R\sqrt2$ です。コード関係を使用して $\sin45°$ を見つけます。

解像度確認2

$n=4$、$\sin45°=\ell/(2R)=R\sqrt2/(2R)=\sqrt2/2$となります。

すべてのデモンストレーションと演習の完全なリストを含む同じ主題が、インタラクティブな三角関数の本に含まれています。

このクラスは、このトピックの短い紹介です。この本では、理論に、その章の解決済みおよび提案された演習が付属しています。