Euler's Eyes
2026-10-16
例は証明しない：オイラー、パスカル、帰納法
$n=0,1,2,3,\ldots$ について $n^2+n+41$ を計算してみよう。
$$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$すべて素数だ。$n=39$ まで続けても、結果の $1601$ はまだ素数である。四十の場合が続けて、一つの例外もない。1772 年、レオンハルト・オイラーはこの見事な式に注意を向けた。それでもこの式は素数だけを生むわけではない。$n=40$ では、
$$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$四十の例は何も証明しなかった。一つの反例がすべてを崩した。
例の誘惑
オイラーの多項式は孤立した珍品ではない。1640 年、ピエール・ド・フェルマーは、$2^{2^n}+1$ という形の数が
$$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537$$となり、すべて素数であることに気づいて、この形の数はすべて素数だろうと予想した。1732 年、オイラーは次の数 $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$ が $641\cdot6\,700\,417$ に等しいことを示した。今日にいたるまで、この形の素数はほかに一つも知られていない。
生徒たちも同じ誘惑を感じる。2000 年に発表された研究で、イギリスの研究者ルル・ヒーリーとセリア・ホイルズは、14〜15 歳の生徒約 2500 人に、「二つの偶数の和はいつも偶数である」という主張を支えるいくつかの論証を評価してもらった。多くの生徒は、例を確かめる論証（$2+4=6$、$10+12=22$、……）を好んだ。理解できたからだ。同時に、$2a+2b=2(a+b)$ を使う代数的な論証こそ先生がいちばん高い点をつけるものだと考えていた。彼らにとって、代数的な証明は先生のためにする形式であり、本当に納得させてくれるのは例だった。
省略記号は規則を隠している
このページでいちばん危険な記号は、いちばん目立たない記号、省略記号 $\ldots$ である。
$$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$と書くとき、三つの点は、いくつかの項から規則を推測し、それを永遠に延ばすよう読み手に求めている。経済的な記法であると同時に、「パターンは続く」という約束でもある。だがオイラーの多項式は、パターンが続かなくなることがあると示している。
上の式は、最初のいくつかの場合なら簡単に確かめられる。$1=1^2$、$1+3=4=2^2$、$1+3+5=9=3^2$。図がその理由を示唆する。どの奇数も、一つの正方形を次の正方形に変える L 字形の層なのだ。
図には説得力があるが、それでも五つの層をもつ一枚の図にすぎない。「以下同様」を確実なものに変えるにはどうすればよいか。
パスカルの二つの補題
いちばんはっきりした答えは、ブレーズ・パスカルが 1654 年に書いた『算術三角形論』から来た。三角形のすべての行で成り立つ性質を証明するとき、彼はこう書いた。
この命題は無限に多くの場合を含んでいるが、私は二つの補題を仮定して、ごく短い証明を与えよう。第一は、それ自体で明らかなことだが、この比例が第二の底辺で成り立つということ。第二は、この比例がある底辺で成り立つならば、それは必ず次の底辺でも成り立つということである。
— ブレーズ・パスカル『算術三角形論』、帰結12
これが数学的帰納法の原理であり、二つの部品からなる。基底：主張は最初の場合に成り立つ。帰納の段階：ある場合に成り立つなら、次の場合にも成り立つ。二つの部品がそろえば、主張はすべての場合に成り立つ。最初のドミノが倒れ、どのドミノも次を倒す、ドミノの列のようなものだ。
帰納法を奇数の和に使ってみよう。
- 基底。 $n=1$ のとき：$1=1^2$。成り立つ。
- 帰納の段階。 ある $k$ について $1+3+\cdots+(2k-1)=k^2$ であると仮定する。両辺に次の奇数 $2k+1$ を足すと、
$k+1$ についても成り立つ。帰納法の原理により、すべての $n$ について成り立つ。$\blacksquare$
省略記号に何が起きたかに注目しよう。前は、パターンを信じるよう読み手に求めていた。帰納法のあとでは、パターンは「$k$ から $k+1$ へ行くには $2k+1$ を足す」という明示的な規則で記述され、証明されている。この証明は、図の L 字形の層を代数で書いたものだ。$k^2+(2k+1)=(k+1)^2$。図と帰納法は同じことを言っているが、すべての層について一度に成り立つのは後者だけである。
練習：オイラーの式がまた失敗する
電卓を使わずに、$n=41$ のとき $n^2+n+41$ が素数でないことを示せ。$41$ でくくればよい。$41^2+41+41=41\cdot(41+1+1)=41\cdot43$。式の形そのものが因数をばらしている。$n=40$ のときは別の技を使う。$40^2+40+41=40\cdot41+41=41\cdot41$。
練習：ガウスの和を帰納法で
すべての $n\geq1$ について $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ であることを証明せよ。
基底： $n=1$ のとき、$1=\frac{1\cdot2}2$。帰納の段階： $1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$ と仮定する。$k+1$ を足すと、
$$\frac{k(k+1)}2+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}2=\frac{(k+1)(k+2)}2$$となり、これは $k$ を $k+1$ に置き換えた式である。帰納法の原理により、すべての $n$ について成り立つ。$\blacksquare$