約 2300 年前、エウドクソス、アルキメデスらは、面積を評価することを目的とした図形に正多角形を外接して内接する消尽法による円の面積の算出を奨励しました。

円の面積 - ギリシャ法

まず、正方形の領域の面積を定義しましょう。

定義: 辺$a$の正方形領域の面積は$a^2$です。

fig

ギリシャ人は、定規とコンパスを使った有限回の操作によって、あらゆる多角形の領域を正方形に内接することができることを検証しました。

ガウスは後にギリシャ人のアイデアに魅了され、非多角形領域の求積法を研究しました。彼らは人生の多くを円盤上の求積法の研究に捧げました。

ヒポクラテスのようなギリシャ人は、別の円盤に囲まれた円盤の一部であるルヌラを正方形にする方法を発見しました。以下にギリシャ人、そしてその後ガウスが積分の研究に使用した手法を見てみましょう。

$n$ $A_n$
$4$ $2.0000 R^2$
$8$ $2.8484 R^2$
$16$ $3.06414 R^2$
$32$ $3.1214 R^2$
$64$ $3.1363 R^2$
$128$ $3.1411 R^2$
$256$ $3.1411 R^2$
$\vdots$ $\vdots$
$\infty$ $\pi R^2$
Discretização do pi

結論

ギリシャ人は、ユークリッドによる円の面積はこれらの値の間に含まれると結論付けました。

$$3.1411\dots R^2 $$

$$3.1418\dots R^2 $$

定数 3.14 の表現は、数学史上非常に有名な記号で表され、数学において最も重要な定数の 1 つです。

長方形、三角形。

このシンボルは、この数字のギリシャ、エジプト、バビロニアの起源に触発されて、William Jones によって 1706 で作成されました。基本的には 2 本の柱の上にある梁です。

バビロニア写本 エジプトの写本

円の面積 - エジプト法

長方形、三角形。
パピルスのカット パピルスを開く

円の面積 - インド法

インドのメソッド。

円の面積 - 日本法

インドのメソッド。

円の面積 - 中国法

インドのメソッド。