係数を表示させる

行を強調表示して、それぞれの数字を読み上げます。 4 行の 6 は、前の行の 3 + 3 から来ています。

小さな画面では図形を横にスクロールして詳細を確認してください。

行 0 から 6 までの合計を比較します: 1、2、4、8、16、32、および 64。

3行から和の3乗まで

  1. ライン 3 には係数 1、3、3、1 があります。
  2. 減少の指数: 3、2、1、0。
  3. b の指数は、0、1、2、3 のように増加します。
  4. したがって、(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 となります。

前回の記事では注目の製品についてお話しました。ここでは、注目製品の概念をパスカルの三角形で拡張していきます。パスカルの三角形は整数の三角形であり、各数値はその上の 2 つの数値の合計です。パスカルの三角形は、二項係数を計算するのに非常に便利なツールです。

ブレーズ・パスカルは、 代表作であるパスカルの三角形のほか、ラ・パスカリーヌマシンと同じく機械式計算機で時代に革命をもたらした、現在のコンピューティングの先駆者の一人でもあります。足し算や引き算の計算を素早く実行できます。彼のパートナーは徴税人だったため、彼は気を紛らわせるためにこれを行いました。

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三角算術特性 (1654 - 1754)

「私が知っているのは、私はいずれ死ぬこと、そしてeu ignoroは避けられない死だということだけです。」

ブレーズ・パスカル パスカルの墓石
パスカルの三角形の 0 行目から 6 行目まで。
各内部値は、すぐ上の 2 つの値を合計します。
Ampliar figura para ler os detalhes
パスカルの三角形の 0 行目から 6 行目まで。

ここでは、パスカルの哲学の範囲を理解することを目的として、数人の翻訳および改作された著者の結果に基づいてパスカルの三角形を構築します。

「そして、算術三角形のデザインは作図図形です…」

$$ \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ 1 & 3 & 3 & 1 & \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \end{array} $$

彼はどのようにしてこの結果に至ったのでしょうか?

パスカルの三角形の 0 行目から 6 行目まで。
各内部値は、すぐ上の 2 つの値を合計します。
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パスカルの三角形の 0 行目から 6 行目まで。
n 係数
1 $1 \quad 1$
2 $1 \quad \overbrace{2}^{1+1} \quad 1 $
3 $1 \quad \overbrace{3}^{1+2} \quad \overbrace{3}^{2+1}\quad 1 $
4 $1 \quad \overbrace{4}^{1+3} \quad \overbrace{6}^{3+3} \quad \overbrace{4}^{3+1}\quad 1 $
$\vdots$ $\vdots$

注目製品とパスカルの三角形の比較

次に、注目すべき製品がパスカルの三角形の特定のケースであることを観察します。

注目の製品 パスカルの三角形 結果
$(a+b)$ $1 \quad 1 \quad \quad \quad $ $1a + 1b$
$(a+b)^2$ $1 \quad 2 \quad 1 \quad \quad $ $1a^2+ 2ab + 1b^2$
$(a+b)^3$ $1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \quad $ $1a^3+ 3 a^2b+ 3 ab^2 + 1b^3$
$(a+b)^4$ $1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1$ $1a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 1b4$

史料 - パスカルの三角形

ザクロ
ブレーズ・パスカル。
ヨーロッパ
ブレーズ・パスカル。
アラビア語
ブレーズ・パスカル。

多項式への応用

$$f(x)= (1+x)^n$$
$$ \begin{aligned} n = 0 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 \\ n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + x\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 2x + x^2\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3\\ n = 4 \qquad &\Rightarrow \qquad f(x) = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ \end{aligned} $$
$$ \begin{array}{ccccc} 1 & & & & \\ 1 & 1 & & & \\ 1 & 2 & 1 & & \\ 1 & 3 & 3 & 1 & \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \end{array} $$

「そして、初めて鶏が鳴きました！」

酔っ払いの散歩

それがバーであれ、酔っ払いであれ、あなたの家であれ、何歩かで、そして意図…

Pascal によるこの例を説明するには、次のことを観察してください。

$$ \begin{aligned} n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad SS + SF + FS + FF\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow SSS + SSf +SFS + FSS + SFF +FSF +FFS +FFF\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ n = 1 \qquad &\Rightarrow \qquad S + F\\ n = 2 \qquad &\Rightarrow \qquad S^2 + 2SF + F^2\\ n = 3 \qquad &\Rightarrow S^3 + 3S^2f +3SF^2 +F^3\\ \qquad\vdots \qquad& \qquad\vdots\qquad\\ \end{aligned} $$
酔って歩く。

「そして鶏が二度目に鳴く！」