Euler's Eyes
2026-10-11
章の演習 2 — 線分
演習と解決策
セグメント $\overline{AB}$ の寸法が 17 cm の場合、次の場合の $x$ の値を決定します。
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a) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$。 b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$。 c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$。 d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$。
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a) $x = 10$ cm ・ b) $x = 4$ cm ・ c) $x = 7$ cm ・ d) $x = 14$ cm
$\overline{AB}$ の中点を $M$ として、$x$ を決定します。
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a) $x = 7$ b) $x = 6$
$PQ$ を決定します。ここで、$AB = 31$:
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a) $AB = AQ + QB = 2x + (x + 1) = 31 \Rightarrow x = 10$。次に$AP = 9$、$AQ = 20$、$PQ = 20 - 9 = 11$となります。
b) $AB = AP + PB = x + 11 = 31 \Rightarrow x = 20$。次に$PQ = PB + BQ = 11 + 21 = 32$。
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a) $PQ = 11$ b) $PQ = 32$
$\overline{AB}$ の中点を $M$ として、$AB$ を決定します。
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a) $2x - 5 = x + 8 \Rightarrow x = 13$、$AB = 2 \cdot 21 = 42$の順です。
b) $AM = MB = x$ と $AP = AB + BP$: $4x - 5 = 2x + (x + 7) \Rightarrow x = 12$、次に $AB = 24$。
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a) $AB = 42$ b) $AB = 24$
直線上の 4 つの点 $A$、$B$、$C$、および $D$ から始まる直線上に何本の光線がありますか?
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8 光線: 4 点のそれぞれから、反対側の 2 光線が出ます。
直線上に 3 つの異なる点があります。異なるセグメントをいくつ特定できますか?
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3 セグメント: $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、および $\overline{BC}$。
異なる点 $A$ と $B$ を通過するセグメントはいくつありますか?端が$A$と$B$のものがいくつありますか?
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無限に多くのセグメントが $A$ と $B$ を通過します。端が $A$ と $B$ のものが 1 つあります。
演習 13 — true (V) または false (F) として分類します。
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2 つのセグメントが連続している場合、それらは同一線上にあります。
誤り。 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ は、同じ直線の外側に「くちばし」を形成できます。
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2 つのセグメントが同一線上にある場合、それらは連続しています。
誤り。 それらは共通の終端がなくても同じ線上にあることができます。
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2 つのセグメントが隣接している場合、それらは同一線上にあります。
正しい。 隣接の定義では、それらが同一線上にあることが必要です。
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2 つのセグメントが同一線上にある場合、それらは隣接しています。
誤り。 これらは共通の内部点がなく連続している必要があります。
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2 つのセグメントが隣接している場合、それらは連続しています。
正しい。 それも定義の一部です。
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2 つのセグメントが連続している場合、それらは隣接しています。
誤り。 $\overline{RS}$ と $\overline{ST}$ の重なりは連続しており、隣接していません。
直線のセグメント $\overline{AB}$ は、同じ直線のセグメント $\overline{CD}$ の 5 倍に等しくなります。セグメント $\overline{CD}$ の 5 番目の部分を測定単位として、$\overline{AB}$ の測定値を決定します。
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$AB = 25$ 単位。
$P$、$A$、および $B$ は、直線上の 3 つの異なる点です。 $P$ が $A$ と $B$ の間にある場合、セグメント $\overline{PA}$、$\overline{PB}$、および $\overline{AB}$ の間にはどのような関係が有効でなければなりませんか?
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$\overline{PA} + \overline{PB} = \overline{AB}$
$P$、$Q$、および $R$ は、直線上の 3 つの異なる点です。 $\overline{PQ}$ が $\overline{QR}$ および $PR = 32$ cm の 3 倍に等しい場合、セグメント $\overline{PQ}$ および $\overline{QR}$ の寸法を決定します。
この本の解像度を参照してください
$QR = x$を行うと、$PQ = 3x$が得られます。次の 2 つの可能性があります。
最初のケース: $3x + x = 32 \Rightarrow x = 8$、次に $PQ = 24$ cm、$QR = 8$ cm。
2 番目のケース: $3x = 32 + x \Rightarrow x = 16$、つまり $PQ = 48$ cm と $QR = 16$ cm。
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$PQ = 24$ cm と $QR = 8$ cm、または $PQ = 48$ cm と $QR = 16$ cm。
セグメント $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$、$\overline{BC}$ と $\overline{CD}$ は、$\overline{AB}$ が $\overline{BC}$ の 3 倍、$\overline{BC}$ が 2 倍の $\overline{CD}$ および $AD = 36$ cm になるように隣接しています。セグメント $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、および $\overline{CD}$ の寸法を決定します。
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$AB = 24$cm、$BC = 8$cm、$CD = 4$cm。
直線$r$上に並んだ点を順に$P$、$A$、$Q$、$B$とする。 $\overline{PA}$ と $\overline{QB}$ が一致する線分である場合、$\overline{PQ}$ と $\overline{AB}$ が一致することを示します。
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合計による出力: $\overline{PQ} = \overline{PA} + \overline{AQ}$ および $\overline{AB} = \overline{AQ} + \overline{QB}$。 $\overline{PA} \equiv \overline{QB}$と同様に、$\overline{PQ} \equiv \overline{AB}$の後に続きます。
$A$、$B$、$C$ が同一線上の点である場合、$AB = 20$ cm と $BC = 12$ cm である $AC$ を決定します。
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$AC = 8$ cm または $AC = 32$ cm。
$\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ は 2 つの隣接するセグメントです。 $\overline{AB}$が$\overline{BC}$と$AC = 42$cmの5倍である場合、$AB$と$BC$を求めます。
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$AB = 35$cmと$BC = 7$cm。
$\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の連続した同一線上のセグメントである $\overline{AB}$ cm の $\overline{BC}$ と $AC = 45$ cm の 4 倍により、$AB$ と $BC$ が決定されます。
ヒント: 連続と同一直線上は隣接している必要はありません。$C$ は $A$ と $B$ の間にあります。
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($AB = 36$ cm および $BC = 9$ cm) または ($AB = 60$ cm および $BC = 15$ cm)。
直線$r$上で、線分$\overline{AB}$と$\overline{BC}$、点$P$をとり、$\overline{AB}$は$\overline{PC}$の5倍、$\overline{BC}$は$\overline{PC}$と$AP = 80$cmの4倍になります。 $M$と$N$をそれぞれ$\overline{AB}$と$\overline{BC}$の中点として、$MN$を決定します。
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点の位置に応じて、$MN = 36$ cm、$45$ cm、または $20$ cm。
同一直線$r$上に、$\overline{AB}$と$\overline{CD}$が合同となるように4つの点$A$、$B$、$C$、$D$が順に並んでいるとする。セグメント $\overline{AD}$ と $\overline{BC}$ が同じ中点を持つことを示します。
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$(\overline{BM} \equiv \overline{MC},\ \overline{AB} + \overline{BM} = \overline{AM},\ \overline{MC} + \overline{CD} = \overline{MD},\ \overline{AB} \equiv \overline{CD}) \Rightarrow \overline{AM} \equiv \overline{MD}$。$M$ は $\overline{BC}$ の中点です。
線分$\overline{AC}$と線分$\overline{BD}$が合同となるように、同じ直線上に順に並んだ4つの点$A$、$B$、$C$、$D$があるとする。セグメント $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ が合同であり、セグメント $\overline{BC}$ と $\overline{AD}$ が同じ中点を持つことを示します。
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$(\overline{AB} = \overline{AC} - \overline{BC},\ \overline{CD} = \overline{BD} - \overline{BC},\ \overline{AC} \equiv \overline{BD}) \Rightarrow \overline{AB} \equiv \overline{CD}$。次に、演習 23 を適用します。
$M$ と $N$ を、それぞれ $A \neq C$ と同じ直線 $\overline{AB} \equiv \overline{BC}$ に含まれる線分 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の中点とします。 $\overline{MN}$ が $\overline{AB}$ と合同であることを示します。
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$AB = BC = 2a$と$B$が$A$と$C$の間の場合：$MN = MB + BN = a + a = 2a = AB$。
次の 3 つの演習は、次の図で検討できます。エクササイズを選択し、ポイントをドラッグします。関係はすべての位置に適用され続けます。
同じ直線上に 3 つの点 $A$、$B$、$C$ があるとして、線分 $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の中点 $M$ と $N$ を考えます。 $\overline{MN}$ がセグメント $\overline{AB}$ と $\overline{BC}$ の半和または半差に等しいことを示します。
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$B$が$A$と$C$の間の場合：$MN = \dfrac{AB + BC}{2}$（セミサム）。それ以外の場合: $MN = \dfrac{|AB - BC|}{2}$ (半差)。
$\overline{AB}$ を直線セグメント、$M$ をその中点とする。点$M$と点$B$の間の点$P$を考えます。 $PM$ が $PA$ と $PB$ の正の半差によって与えられることを示します。
この本の解像度を参照してください
$\overline{AB}$ の測定値を $2a$ で示し、$\overline{PM}$ の測定値を $x$ で示すと、$AM = MB = a$ と
$$PA = a + x \quad\text{e}\quad PB = a - x \ \Longrightarrow\ PA - PB = 2x \ \Longrightarrow\ PM = x = \frac{PA - PB}{2}.$$直線$r$上に固定線分$\overline{AB}$と移動点$P$があるとします。 $M$ を $\overline{AP}$ の中点、$N$ を $\overline{BP}$ の中点とします。セグメント $\overline{MN}$ について何が言えるでしょうか?
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$\overline{MN}$ は、$P$ の位置に関係なく、一定の測定値 $MN = \dfrac{AB}{2}$ を持ちます。