Euler's Eyes
2026-10-26
生活では満点、学校では零点：紙の外の数学
1980 年代のはじめ、ブラジルのペルナンブーコ連邦大学の三人の研究者、テレジーニャ・ヌネス・カラーヘル、デイヴィッド・カラーヘル、アナルシア・シュリーマンは、レシフェの市場へ行き、ヤシの実やトウモロコシやポップコーンを売る 9 歳から 15 歳の子どもたちと話した。客のふりをして、買い物のときに計算問題を出したのである。あとで彼らは、同じ計算を学校ふうに紙に書いて持っていった。
1985 年に『街の数学と学校の数学』（Mathematics in the streets and in schools）という題で発表された結果は、有名になった。市場では、子どもたちは計算の約 98% に正しく答えた。同じ計算を文章題として出すと約 74%。物語のない筆算の練習として出すと約 37% だった。のちに著者たちがブラジルで出版した本は、題名で事情をまとめている。Na vida dez, na escola zero（1988）、「生活では満点、学校では零点」。
二つの計算のしかた
変わったのは計算ではなく、記法だった。研究に記録された会話のひとつで、客が一個 35 クルゼイロのヤシの実を四つ買うといくらかとたずねる。少年はおおよそこう答える。「三つで百五、三十足して百三十五、五足して百四十。」彼はすでにおぼえている値段（ヤシの実三つ）から出発し、少しずつ足していき、一歩ごとに、それぞれの数が何であるか、つまりお金でありヤシの実であることを知っている。
紙の上では、同じ計算は $35 \times 4$ となり、列にそろえて、くり上がりをして書かれる。筆算のアルゴリズムが強力なのは、まさに意味を忘れるからである。ヤシの実でもメートルでも年でも同じように働く。しかし意味を忘れると、生徒は手綱も失う。どこかの位をまちがえても、ヤシの実四つで $1400$ クルゼイロがばかげていることに気づかない。路上では、この手綱は決して失われない。
民族数学
ブラジルの数学者ウビラタン・ダンブロジオ（1932–2021）は、1970 年代から、学校の外に生きるこうした数学を研究する分野に名前を与えた。民族数学（エトノマテマティカ）、つまりそれぞれの文化的な環境（エトノ）で現実を説明し扱う（マテマ）しかた（ティカ）である。市場の売り手、大工、お針子、漁師、先住民。だれもが、自分なりの、しばしば口頭の記法と手順で、数え、はかり、比べ、計算している。
モザンビークでは、数学者パウルス・ゲルデスが ソナ を研究した。アンゴラのチョクウェの人々が砂の上に描く絵で、指を離さずに一本の線で点の格子のまわりをめぐるものである。その背後には、最大公約数や対称性で書ける規則性がある。民族数学は、こうした営みが服を着がえた学校の数学と「同じ」だと言うのではない。それらは本物の知識であり、学校はそれを無視するのではなく、そこから出発するときに得るものがある、と言うのである。
民族数学とは、都市や農村の共同体、労働者の集団、職業階層、ある年齢層の子どもたち、先住民の社会、そして目的と伝統を共有することで自らを認めあうほかの多くの集団など、文化的な集団によって実践される数学である。
— ウビラタン・ダンブロジオ『民族数学：伝統と近代のあいだのきずな』（2001）
橋
記法にとっての教訓は二重である。学校の書き方だけが数学的に考える方法ではなく、紙の上で失敗する生徒が生活の中では上手な計算家かもしれない。しかし学校の書き方は、口頭の計算にはないものを与える。一般性、記録、確かめて人に伝える可能性である。よい教育は二つのあいだに橋をかける。「三つで百五」から出発して、$4 \times 35 = 3 \times 35 + 35$ が同じことを別の書き方で書いたものだと示すのである。
練習：ヤシの実十個
三つで 105 であることから出発し、売り手のやり方で、一個 35 クルゼイロのヤシの実十個の値段を求めよ。
三つで $105$、六つで $210$、九つで $315$、もうひとつで $350$。学校の書き方では、$10 \times 35 = 350$ はひとつの規則（ゼロをつける）から出てくる。売り手の道のりは長いが、一歩一歩が本当の値段であり、$3500$ がまちがいだとすぐにわかるだろう。
練習：おつり
客が 1.50 のポップコーンを三つ買い、10 のお札で払う。おつりを二通りに求めよ。「路上のやり方」で数え上げる方法と、筆算である。
路上のやり方：ポップコーン三つで $4.50$。$4.50$ から $5$ まで $0.50$、$5$ から $10$ までさらに $5$。おつりは $5.50$。筆算では $3 \times 1.50 = 4.50$、$10.00 - 4.50 = 5.50$。値段から払った額まで数え上げる最初の方法は、機械が来る前のレジ係が使ったもので、くり下がりのあるひき算を避けられる。