OBMEP 2019 - 第 2 フェーズ

この投稿では、OBMEP 2019 の質問をコメント付きで解決します。

質問 1

マルセロは 5 つの指輪を 1 つずつ木の杭に投げます。リングがピンに当たると、下の表に示すようにポイントを獲得します。リングがピンに当たらなかったら得点は得られません。図は、マルセロが行った 5 回のスローを示しています。青と緑のリングのみがピンに当たりました。緑色のリングは他のリングの上にあったため、最後に投げられたものであることに注意してください。

リリース番号	ポイント数
1º	10
2º	5
3º	3
4º	1
5º	1

Q1 項目a

a) 上の図に示されているように、マルセロは 5 回のスローで何点を獲得しましたか?

1投目：アウト$\rightarrow$0ポイント。
2投目: $\rightarrow$ 5 ポイントをヒット
3投目：アウト$\rightarrow$0ポイント。
4投目：アウト$\rightarrow$0ポイント。
5 投目: $\rightarrow$ 1 ポイントをヒットします。

$$ \text{Total} = 5+1=6 \text{pontos}$$

Q1 項目 b

b) 他の 5 回の投球で、マルセロはそのうち 1 回を外しただけで、17 ポイントを獲得しました。彼が見逃した投球番号は何でしたか？

リリース番号	ポイント数
1º	$10$
2º	$5$
3º	$\cancel{3}$
4º	$1$
5º	$1$

3投目は$10+5+1+1=17$点なので失敗でした。

Q1 項目 c

c) 下の図は、マルセロが行った他の 5 つの打ち上げの様子を示しています。 3 番目に投げられたリングが赤いリングだった場合、その投げから得られた最高スコアは何点でしょうか?

赤の 3 投目: アウト $\rightarrow$ -3 ポイント。
黒の2投目：赤のアウト前 $\rightarrow$ - 5 ポイント。
最大スコア: 1 回目の打ち上げ成功 $\rightarrow$ +10 ポイント。
最小余剰: 5 番目のスロー $\rightarrow$ - 1 ポイント。
残りヒット：4投目ヒット$\rightarrow$+1ポイント。

$$ \text{Total} = 10+1=11 \text{pontos}$$

質問 2

ロバータは 2 枚のカードを持っており、1 枚には 1 ～ 15 の番号が、もう 1 枚には 16 ～ 30 の番号が付いています。彼女は各カードから数字を選択し、その合計を計算します。

Q2 項目A

a) Roberta が合計 18 を得るために考えられる選択肢は何ですか?

合計 18 の選択肢は次のとおりです。

$1+17=18$
$2+16=18$

Q2 項目 B

b) ロバータが考えられるすべての選択をした場合、何通りの異なる結果が得られますか?

タイプ	和	結果
最大額	$1+16$	$17$
最小の合計	$15+30$	$45$

このように、可能な選択肢のセットは 17 から 45 までの自然数になります。

$$\text{escolhas} = \\{17, 18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45\\}$$

計算間違いを避けるために、次を参照してください。

結果が17～18の場合： $$\text{resultado}=(18-17) + 1 = 2\text{ possibilidades}$$
結果が17～20の場合： $$\text{resultado}=(20-17) + 1 = 4\text{ possibilidades}$$

可能性の数は次のとおりです。

$$\text{possibilidades} = \text{diferença}+1 = (45-17) +1 = 29$$

したがって、可能性の数は$29.$です。

Q2 項目 C

c) ロバータが考えられるすべての選択をした場合、どの結果が最も頻繁に表示されますか?なぜ？

最も頻繁に表示される数値は、合計の平均です。

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} }$$

ガウスを覚えていますか？ 5 歳のとき、彼は等差数列の項の合計を見つけました。として？教師は生徒たちに1から100までを足させました。ガウスは 1 分で計算しました。

数値を昇順と降順に並べます。

$$ \begin{cases} \begin{array}{llll} \text{soma}\\ 1 & 2 & \dots & 100\\ 100 & 99 & \dots & 1\\ --&--&--&--\\ 101 & 101 & 101 & 101\\ \end{array} \end{cases} $$
ただし、101 は 100 回出現し、2 回追加されました。 $$\text{soma} = \dfrac{101~.~100}{2}=5050$$

さて、項目に戻りましょう。

$$\text{soma} = \dfrac{(17+45)~.~29}{2}=\dfrac{62 ~.~29}{2} = 31~.~29$$

平均計算:

$$\text{média} =\dfrac{\text{soma} }{\text{número de termos} } = \dfrac{31~.~\cancel{29} }{\cancel{29} }=31$$

この事実は大数の法則によるものですが、視覚的に見てみましょう。

行/列	$1$	$2$	$3$	$\dots$	$15$
$16$	$1+16$	$2+16$	$3+16$	$\dots$	$\color{red}{15+16}$
$17$	$1+17$	$2+17$	$3+17$	$\dots$	$15+17$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\dots$	$\vdots$
$28$	$1+28$	$2+28$	$\color{red}{3+28}$	$\dots$	$15+28$
$29$	$1+29$	$\color{red}{2+29}$	$3+17$	$\dots$	$15+29$
$30$	$\color{red}{1+30}$	$2+17$	$3+17$	$\dots$	$15+30$

質問 3

パウリーニョには 5 つの異なる形状 (立方体、角錐、球、円柱、円錐) の作品があります。同じ形のものは同じ重さ（質量）になります。彼はいくつかのピースを秤の上に置き、以下の 2 つの状況でバランスを観察します。

Q3 項目A

a) 以下の図が正しい状況を表しているか、間違っている状況を表しているかを示してください。

[×]右
間違っている

そうです、円錐の質量が 2 つの物体 (ピラミッド + 円柱) よりも大きい必要があるからです。

[×]右
間違っている

そうです。球には 2 つのオブジェクト (立方体 + 円柱) よりも大きな質量が必要だからです。

Q3 項目 B

b) 以下の図のうち、正しい状況を表しているのはどれですか?

C のみが正しいのは、次の理由からです。

円錐は (ピラミッド + 円錐) に等しい
右側: (ピラミッド + 円柱 + 立方体)
球は等しい (立方体 + 円柱)
左側: (ピラミッド + 円柱 + 立方体)

Q3 項目 C

c) いくつかの既知の重みを使用して、パウリーニョは以下の均衡状況を観察しました。立方体、角錐、球、円柱、円錐の重さはどれくらいですか?

仮説から次のことがわかります。

$$\text{2 pirâmides + 2 esferas + 1 cone } = 5+10+15 = 30 \text{ gramas} $$

次のように変更するだけです。

1 球×1 立方体 + 1 円柱
1 円柱 + 1 ピラミッド x 1 円錐
結果 1 球 + 1 ピラミッド + 1 円錐 + 1 立方体 + 1 円柱は、30 グラムに等しい。

質問 4

図では、正方形の一辺が1cmです。 4 つの青い三角形は同じであり、2 つの小さな黄色の三角形も同様です。 4 つの最大の黄色の三角形はそれぞれ、正方形の辺に等しい底辺、この底辺に対する高さは 1 cm に等しく、他の 2 つの辺の寸法は同じです。ピンクの四角形の 2 つの辺は、正方形の辺と平行です。図では、正方形の一辺が1cmです。 4 つの青い三角形は同じであり、2 つの小さな黄色の三角形も同様です。 4 つの最大の黄色の三角形はそれぞれ、正方形の辺に等しい底辺、この底辺に対する高さは 1 cm に等しく、他の 2 つの辺の寸法は同じです。ピンクの四角形の 2 つの辺が正方形の辺と平行です