現代数学における最も重要な関係の 1 つは等価関係です。ちなみに、これらは数学の研究の大部分に登場します。

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等価関係

前回の投稿では、次のようないくつかのプロパティを示しました。

  • 反射性;
  • 対称的。
  • 推移的;
  • 反対称。

それらの中には同値関係であることが必要なものもあります。

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定義 (同値関係): 集合 $A$ 上の関係 $\mathcal{R}$ は、$\mathcal{R}$ が再帰的、対称的、推移的である場合、$A$ 上の同値関係であると言われます。

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例

これを説明するために、次の例を見てみましょう。

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例 1: $\Delta = \\{(x,x); x\in A\\}$ として定義された対角関係は、$A.$ に対する同値関係です。これは、$A$ に対する「最小の」同値関係です。

例 2: $A$ に対する関係 $A\times A$ は、$A.$ に対する「最大の」同値関係です。

例 3: $A=\mathbb{Z}$ とします。関係:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$

は整数の集合に対する同値関係です。

同値クラスモジュール R

定義 $\mathcal{R}$ を空でない集合 $A.$ に対する同値関係とする。 各 $a \in A,$ に対して、次のように定義される $A$ の部分集合

$$\overline{a} = \\{x \in A;\quad x \mathcal{R} a\\},$$

は要素 a モジュール $\mathcal{R}$ によって決まる同値クラスと言われます。

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$\mathcal{R}$を法とする同値類の集合を$A/R$で示し、$A$の商集合を$\mathcal{R}$と呼びます。

$\mathcal{R}$ が空ではない集合 $A,$ に対する同値関係である場合、すべての $a \in A,$ に対して $a \in a,$ が存在することに注意してください。つまり、各同値クラスは $A.$ の空ではないサブセットです。

例 3: $A=\mathbb{Z}$ とします。関係:

$$\mathcal{R} = \\{(x,y)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}; ~x-y \text{ é múltiplo de } 3\\}$$ コレクション
  • $0\in \mathbb{Z}$の場合
$$ \begin{aligned} \overline{0} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} \\ \end{aligned} $$
  • $1 \in \mathbb{Z},$ については、
$$ \begin{aligned} \overline{1} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-1 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+1, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +1 \end{aligned} $$
  • $2 \in \mathbb{Z},$ については、
$$ \begin{aligned} \overline{2} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-2 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+2, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} +2 \end{aligned} $$
  • $3 \in \mathbb{Z},$ については、
$$ \begin{aligned} \overline{3} &= \{x \in \mathbb{Z};~ x-3 \text{ é múltiplo de } 3\} \\ &= \{x \in \mathbb{Z};~ x = 3k+3, \text{ para algum } k \in \mathbb{Z}\} \\ &= 3 \mathbb{Z} = 0 \end{aligned} $$

同値関係の結果

次に、$\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$ の等価関係に関する重要な結果を見ていきます。

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定理 $\mathcal{R}$ を空でない集合 $A$ と $a, b \in A.$ 上の同値関係とする 次の命題は等価です。

  • (a) $a\mathcal{R} b$
  • (b) $a \in b$
  • (c) $b \in a$
  • (d) $a = b.$

デモ:

  • (a) $\Longleftrightarrow$ (b)

これは、同値クラスの定義の直後に続きます。

  • (b) $\Longrightarrow$ (c)

    • $a \in b$ はクラス定義により $a\mathcal{R} b$ を意味します。
    • $a\mathcal{R} b$ が $\mathcal{R}$ の対称性により $b\mathcal{R} a$ を暗示するのと同様です。
    • したがって、クラス定義により $b\mathcal{R} a$ は $b\mathcal{R} \overline{a}$ を意味します。

  • (c) $\Longrightarrow$ (d)

なお、$\overline{a}$と$\overline{b}$は2組となります。このように、$\overline{a} = \overline{b}$ を示すことは、次のことを示すことと同じです。

  • (1) $\overline{a} \subseteq \overline{b}$
  • (2) $\overline{b} \subseteq \overline{a}$
  1. $\overline{a} \subseteq \overline{b}$ を示してみましょう。

$x \in \overline{a},$ には $x\mathcal{R} a$ があり、仮説に従って $b \in \overline{a},$ には $b\mathcal{R} a.$ もあります。

$\mathcal{R}$は対称なので、$x\mathcal{R} a$と$a\mathcal{R} b$が得られます。この事実は、$\mathcal{R}$ の推移性を意味します。 $x\mathcal{R} b$より。したがって、$x \in b$。

  1. 類似したものです。
  • (d) $\Longrightarrow$ (a)

$x \in \overline{a} = \overline{b}.$ とすると、クラス定義により、$x\mathcal{R} a$ と $x\mathcal{R} b$ が得られます。

ここで、$\mathcal{R}$ の対称性と推移性から、$a\mathcal{R} b$ が得られます。

$\square$

結果の適用

ここでステートメント $\mathbb{Z}/\mathcal{R} = \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$ を示してみましょう。

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$A = \mathbb{Z}$、$\mathcal{R} = \\{(x, y) \in Z × Z; ~ x − y \text{ é múltiplo de } 3\\}$の場合

$\mathbb{Z}/\mathcal{R} \supseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}.$ に注意してください。

$a \in \mathbb{Z}/\mathcal{R},$ の場合、$a$ を $3,$ で割ると次のようになります。 $a = 3q + r,$ よりも $r = 0, 1$ または $2.$

この場合は$r \in a$となります。前の定理により、$a = r$ が得られます。

したがって$\mathbb{Z}/\mathcal{R} \subseteq \\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\\}$です。

以上が同値関係のまとめです。次の投稿をお待ちください。