Euler's Eyes
2026-10-11
対角線、内角、外角
多角形の対角線は何本ありますか?角度を合計するとどれくらいになりますか?答えは、多角形を三角形に分割するという単純なアイデアから生まれます。
発見者
多角形の内角の和は、 三角形を扱うユークリッドの原論の命題I.32の拡張です。 プロクロス (西暦 5 世紀) は、凸多角形に関する 2 つの結果を記録しました: $n$ 辺を持つ多角形の内角の合計は $2n - 4$ の直角に等しく、 外角の合計は常に直角 4 つに等しいです。 1619 では、ヨハネス ケプラー がこれらの合計を使用して、どの正多角形が平面をタイル化できるかを計算しました。
歴史
この証明では、頂点または内部点に基づいて多角形を三角形に分割します。これはこのトピックと同じ方法です。対角線の数 $\tfrac{n(n-3)}{2}$ は組み合わせの問題です。各頂点は、それ自体とその 2 つの隣接点を除く他のすべての頂点に接続されます。
ケプラーは世界の調和 (1619) で、正多角形のうち、 穴のない平面を覆うのは三角形、正方形、六角形だけであることを示しました。その内角 (60°、 90° と 120°) は、360° を正確に除算する唯一のものです。
日常生活での応用
- フロアとタイル。 単一タイプの正多角形を含むタイルは、角度の合計の直接的な結果である三角形、正方形、または六角形の場合にのみ役立ちます。
- ブロックの周りを歩く 多角形の正方形を一周して開始点に戻る人は、合計 360° 回転します。これは外角の合計です。
- ロボットとカメ。 Logo や Scratch のような子供向けプログラミング言語では、$n$ 辺の正多角形を描くには、各角で $360°/n$ を回転する必要があります。
- ハンドシェイク。 $n$ 人のグループの場合、ハンドシェイクの回数は、$n$ 個の頂点を持つ多角形の辺の数と対角線を加えたものになります。
出典: 要素、命題 I.32 · Proclus (MacTutor) · Kepler (MacTutor)。
理論と作図
定理対角線の数
対角線は、端が連続しない頂点を持つ線分です。 $n$ 角形の対角線の数 ($n \geq 3$) は、
$$d = \frac{n(n-3)}{2}.$$演繹。 各頂点 $n - 3$ から対角線が出発します (対角線はそれ自体にも隣接する 2 つの頂点にも行きません)。 $n$ 頂点の場合、$n(n-3)$ とカウントしましたが、各対角線は両端で 1 回ずつ、計 2 回カウントされました。ロゴ$d = \dfrac{n(n-3)}{2}$。
定理内角の和
$n$辺の凸多角形の内角の和は
$$S_i = (n - 2) \cdot 180^{\circ}.$$演繹 頂点から始まる $n - 3$ 個の対角線によって多角形は $n - 2$ 個の三角形に分割され、多角形の内角の合計はこれらの三角形の角度の合計になります。
定理外角の和
凸多角形の外角は内角の隣り合う補角です。凸多角形の外角の和は
$$S_e = 360^{\circ}.$$推定。 各頂点で、$e_k + i_k = 180^{\circ}$。 $n$ の等値を追加すると、$S_e + S_i = n \cdot 180^{\circ}$ になります。 $S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}$として、$S_e = 360^{\circ}$が来ます。
性質正多角形の角度
正多角形では、内角と外角は合同です。
$$a_e = \frac{360^{\circ}}{n}, \qquad a_i = \frac{(n-2)\cdot 180^{\circ}}{n}, \qquad a_i + a_e = 180^{\circ}.$$実際には、最初に $a_e$ を計算し、次に補足 $a_i$ を計算する方が簡単です。