Euler's Eyes
2026-10-13
オイラーと関数：規則に名前をつける
「現代の記法の建築家」という称号にふさわしい人がいるとすれば、それはレオンハルト・オイラーです。彼は歴史上のだれよりも多くのページの数学を書き、しかも読まれるために書きました。彼の本は教えるために使われ、彼が採用した約束ごとは本とともに広まりました。ずっと昔からあったように見える記号の多くが、彼の手を通っています。
- 1706ウィリアム・ジョーンズが、円周と直径の比に $\pi$ を使う。気づく人はほとんどいない。
- 1727ある手稿で、オイラーが対数が $1$ になる数を $e$ と呼ぶ。
- 1734オイラーが $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$ と書く。関数の記法 $f(x)$ の誕生である。
- 1736『力学』で、オイラーがジョーンズの $\pi$ を採用する。『無限解析入門』（1748）によって、この記号は標準になる。
- 1755オイラーが和を表すのに $\Sigma$ を使う。
- 1777オイラーが $\sqrt{-1}$ に $i$ を使う。この文章が出版されたのは彼の死後だった。
これらの記号に共通しているのは、どれも説明を名前に変えているということです。オイラー以前には、関数について語るには規則を説明しなければなりませんでした（「$x$ を 2 乗して 1 をたしてできる量」）。$f(x)$ のあとでは、規則は短い名前をもち、名前はほかの計算の中に入っていけます。$f(x+h)-f(x)$、$f(g(x))$、$f'(x)$。関数は、かつて数をあつかったのと同じようにあつかえる対象になったのです。それぞれの記号について詳しくは、オイラーが残した言語を見てください。
関数、穴のあいた文
関数（function）という言葉は、ラテン語の functio から来ています。動詞 fungi は、任務を果たす、職務を行うという意味です。関数とは、何かをするものなのです。この記号が $f(x)$ にたどりつくまでには、ほぼ百年かかりました。
| 年 | 人物 | 関数の現れ方 |
|---|---|---|
| 1637 | ルネ・デカルト | 曲線と結びついた、$x$ と $y$ のあいだの方程式 |
| 1667 | ジェームズ・グレゴリー | quantitas、ほかの量から得られる量 |
| 1671 | アイザック・ニュートン | 流量、流れる量 |
| 1673 | ライプニッツ | functio という言葉 |
| 1718 | ヨハン・ベルヌーイ | かっこなしの $\varphi x$ |
| 1734 | レオンハルト・オイラー | かっこつきの $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$ |
| 1837 | ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ | 現代の定義：それぞれの $x$ にただ一つの $y$ を対応させる、どんな規則でもよい |
このサイトの以前の記事は、関数のおもしろい読み方を提案していました。穴のあいた文として読むのです。「二倍する」関数は
$$f=2\cdot(\quad),$$数を待っている指示です。穴に $3$ を入れれば $f(3)=2\cdot3=6$、$x$ を入れれば $f(x)=2x$。「二を引く」関数は $(\quad)-2$ で、「$(\quad)-1$ かける $(\quad)-3$」は、$1$ と $3$ で軸と交わる放物線を表します。
この考えは、教えるための工夫にとどまりません。1891 年、論理学の記事で出会うゴットロープ・フレーゲは、論文『関数と概念』で、まさにこのことを主張しました。関数とは、$2\cdot(\quad)^3+(\quad)$ のように空いた場所をもつ不飽和な表現であり、その空所がうめられたときにだけ数になる、というのです。オイラーの $x$ はその穴を示す経済的な方法であり、$f(x)$ のかっこは、入力がはまる場所を文字どおり描いているのです。
練習問題：穴をうめる
関数 $g=(\quad)^2-1$ は、数を受けとって 2 乗し、$1$ を引きます。したがって $g(3)=3^2-1=8$、$g(-3)=8$、$g(0)=-1$。穴をオイラーの文字で書くと $g(x)=x^2-1$。では $g(x+1)$ は？ 穴に $x+1$ をまるごと入れればよいのです：$g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x$。穴のことを考えない人は、よく $x^2-1+1$ と書いてしまいますが、それは別の関数です。
練習問題：f(x+h) − f(x)
$f(x)=x^2$ について $f(x+h)-f(x)$ を計算します。穴に $x+h$ を入れると $(x+h)^2-x^2=2xh+h^2$。$h$ でわると $2x+h$ で、$h$ が $0$ に近づくと $2x$ に近づきます。これが $x^2$ の導関数です。この計算がこれほど短いのは、オイラーの記法のおかげで「となりの点での関数の値」が四つの記号で書けるからです。