Euler's Eyes
2026-10-10
数学の歴史
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ばねと微分方程式
微分方程式とは、未知数が関数であり、その方程式がその関数を語る方程式です。 派生製品。オイラーはこの道筋を、今日でも私たちが使用しているスキームに体系化しました。つまり、現象を観察し、書きます。 方程式を解き、それを解く関数を見つけてグラフを描きます。
現象 1678 で、ロバート フックはバネの挙動をラテン語で要約しました: ut tensio, sic vis、「拡張であるため、強度もあります。」 $x$ によって引き伸ばされた定数 $k$ のバネが、 強さ$F = -kx$。
方程式。 ニュートンの第 2 法則 $F = m \cdot a$ により、加速度は次の導関数です。 位置、$x''$。それから
$$-kx = m\,x'' \quad\Longrightarrow\quad x'' + \frac{k}{m}\,x = 0.$$
解関数。 二次導関数自体に a を乗じた関数を探します。 負の数。オイラーのトリック (1743) は、$e^{rt}$ を微分するだけなので、$x = e^{rt}$ を試すことでした。 係数 $r$ が表示されます。
$$r^2 e^{rt} + \frac{k}{m}\,e^{rt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{k}{m} \quad\Longrightarrow\quad r = \pm\, i\,\omega, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$$
虚数が現れた！ここでオイラーの公式が登場します。 $e^{i\omega t} = \cos(\omega t) + i\sin(\omega t)$。実際の部分を組み合わせると、解決策は次のようになります。
$$x(t) = c_1 \sin(\omega t) + c_2 \cos(\omega t).$$
グラフ 質量は正弦波を描きながら永遠に往復します。スプリングと質量を変更して確認してください 周期 $T = 2\pi/\omega$ の変化: 硬いバネはより速く振動し、より大きな質量はより遅く振動します。
これは何の機能ですか? (クリックすると次のパズルが表示されます)
- 関数 $f$ から $2x$ を引いた導関数はゼロになります: $f' - 2x = 0$。 応答: $f(x) = x^2$ (および任意の定数)。
- 関数 $h$ があり、その二次導関数を関数自体に追加するとゼロになります: $h'' + h = 0$。 応答: $h(x) = \sin x$、および $\cos x$。 $k = m$のバネ方程式です。
- 関数 $g$ の 4 階導関数から関数自体を差し引くとゼロが得られる関数 $g'''' - g = 0$ があります。 応答: $g(x) = \cos x$、および $\sin x$、$e^x$、および $e^{-x}$。
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