角度をコピーして半分に分割することは、古典的な構造です。しかし、それを 3 等分するということは、2,000 年以上にわたって数学者たちを悩ませてきました。

発見者

2つの建物はこの中にあります 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 提案 I.9 角を半分（二等分線）に分割し、 I.23 指定された角度を別の直線にコピーします。すでに 三等分 定規とコンパスを使って角度を計算し、あらゆる角度を 3 等分することが証明されました。 不可能 1837年にフランス人によって ピエール・ヴァンツェル、当時20歳ちょっと。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

歴史

三等分は、立方体の 2 倍、円の 2 乗と並ぶ 3 つの古典的なギリシャ問題の 1 つです。ギリシャ人は、特別な曲線やマーク付きの定規を使用してこの問題を解くことができましたが、アルキメデスはこのような解決策を示しましたが、マークのない定規とコンパスだけでは決して解決できませんでした。

アルキメデス、後の芸術的表現。
アルキメデス、後の芸術的表現。ドメニコ・フェティ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
角の二等分線 は開口部を 2 つの等しい角度に分割します。長さが等しいと比較が容易になります。
角の二等分線 は開口部を 2 つの等しい角度に分割します。長さが等しいと比較が容易になります。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。

ヴァンツェルは問題を代数に変換しました。定規とコンパスを使った各構成は、次数 2 の方程式を解くのと等しく、角度 60° の三等分には、次数 3 の方程式が必要ですが、これはそれらに還元することはできません。アマチュアによって雑誌に寄せられた「三等分」は今でも掲載されています。それらにはすべて何らかの誤差があります。

日常生活での応用

  • 大工のスタ。 これは「アングル コピー機」です。切断する部分の屋根や階段の傾斜をコピーします。実際には I.23 の命題です。
  • マイター モールやベースボードの 90° の角を閉じるために、各ピースを 45°: 角の二等分線 で直角にカットします。
  • 折り 道具を使わずに、紙の片面を他のマーク 角の二等分線 の上に折ります。
  • ビリヤード ボールは到達したときと同じ角度でテーブルから離れます。

出典: 要素、命題 I.9 · 要素、命題 I.23 · Wantzel (MacTutor)。

理論と作図

公準角の合同

角度の合同 (記号$\equiv$) は、次の条件を満たす原始的な概念です。

  1. 反射: $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。
  2. 対称: $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ の場合は $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。
  3. 推移: $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ と $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$ の場合、$\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。
  4. 角度の伝達: 平面の角度 $A\hat{O}B$ と光線 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ が与えられると、その平面内、直線 $O^{\prime}A^{\prime}$ が定める各半平面内に、$A\hat{O}B$ と合同な角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$ を $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ と形成する単一の光線 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$ が存在します。

比較 $\widehat{ab}$ と $\widehat{cd}$ が与えられた場合、$b$ を含む $a$ の線上の原点半平面に $\widehat{cd}$ を輸送し、$\widehat{ad^{\prime}} \equiv \widehat{cd}$ を取得します。 $d^{\prime}$ が $\widehat{ab}$ の内部にある場合は、$\widehat{ab} > \widehat{cd}$ と言います。 $d^{\prime}$ が $b$、$\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ と一致する場合。 $d^{\prime}$ が $\widehat{ab}$、$\widehat{ab} < \widehat{cd}$ の外部にある場合。

角度と角の二等分線の加算

定義角度の合計

光線 $\overrightarrow{Ob}$ が角度 $a\hat{O}c$ の内側にある場合、$a\hat{O}c$ は角度 $a\hat{O}b$ と $b\hat{O}c$ の和になります。

$$a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c.$$

一般に、$\widehat{ab}$ と $\widehat{cd}$ が与えられ、$\widehat{rt}$ の内部に $s$ を持つ $\widehat{rs} \equiv \widehat{ab}$ と $\widehat{st} \equiv \widehat{cd}$ がある場合、$\widehat{rt} = \widehat{ab} + \widehat{cd}$ と呼びます。 $\widehat{ab}$ に一致する $n$ 個の角度の和である角度が存在する場合、その角度は $\widehat{ab}$ 秒の $n$ の倍数になります。 $\widehat{ab}$ はその約数です。

定義角の二等分線

角度 $a\hat{O}b$ の内部の光線 $\overrightarrow{Oc}$ は、$a\hat{O}c \equiv c\hat{O}b$ の場合に限り、その角度の角の二等分線 になります。 角の二等分線 は頂点から始まり、角度を 2 つの合同な角度に分割します。

$b$ (金色) をドラッグすると合計が $a\hat{O}c = a\hat{O}b + b\hat{O}c$ になります。 2 つの部分が等しい場合、$\overrightarrow{Ob}$ は 角の二等分線 になります。 $c$もドラッグします。

定理角の二等分線の独自性

角度には 角の二等分線 が 1 つあります。

デモンストレーション（不条理による）

  1. $\overrightarrow{Ox}$ と $\overrightarrow{Oy}$ が別個の $a\hat{O}b$ の 角の二等分線 であるとします: $a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b$ (1) と $a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b$ (2)。
  2. ケース 1: $\overrightarrow{Ox}$ は $a\hat{O}y$ の内部です。次に $a\hat{O}y > a\hat{O}x$; $\overrightarrow{Oy}$ は $x\hat{O}b$、$x\hat{O}b > y\hat{O}b$ の内部にあります。ロゴ $a\hat{O}y > a\hat{O}x \equiv x\hat{O}b > y\hat{O}b$ — (2) によるナンセンス。
  3. ケース 2: $\overrightarrow{Oy}$ は $a\hat{O}x$ の内部です。同様に、$a\hat{O}x > a\hat{O}y \equiv y\hat{O}b > x\hat{O}b$ — (1) によるナンセンス。
  4. したがって、角の二等分線 はユニークです。その存在は6章で定規とコンパスを使った作図で証明されます。