演習と解決策

演習 274 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 内心は三角形に内接する円の中心です。
  2. 外心は三角形に外接する円の中心です。
  3. 内心 は三角形の内部です。
  4. 重心 は三角形の内部です。
  5. 垂心 は三角形の内部です。
  6. 外心 は三角形の内部です。
  7. 重心は三角形に内接する円の中心です。
275

次の場合に、どの三角形が与えられた条件を満たすかを言います。 a) 垂心 と 重心 が一致します。 b) 内心 と 外心 が一致します。 c) 垂心 は頂点の 1 つです。 d) 垂心 は外部です。 e) 外心 は外部です。 f) 外心 は片側にあります。 g) 垂心 は内部点です。

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a) 等辺 ・ b) 等辺 ・ c) 長方形 ・ d) 鈍角 ・ e) 鈍角 ・ f) 長方形 ・ g) 直角

276

三角形の 3 つの高さ、3 つの中央値、および 3 つの内部 角の二等分線 で構成されるセグメントを考えてみましょう。 2 つずつ異なるこれらのセグメントはいくつあるでしょうか。 a) 正三角形 内。 b) 等辺 ではなく 二等辺三角形 にあります。 c) 不等辺三角形 にありますか?

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a) 3 b) 7 c) 9

277

三角形$ABC$の重心を$G$として、$AG = 10$、$BG = y$、$CG = 14$で$x$、$y$、$z$を求めます。

中央値と 重心 G を含む三角形 ABC。
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$x = 7$、$y = 12$、$z = 5$

278

四角形$ABCD$が平行四辺形、$M$が$\overline{AB}$の中点の場合、$DP = 16$と$PM = x$で$x$を求めます。

AB の中点 M と対角線 AC 上に P がある平行四辺形 ABCD。
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$x = 8$: 対角線 $\overline{BD}$ を描きます。 $P$は三角形$ABD$の重心です。

279

$H$と三角形の垂心$ABC$と$B\hat{H}C = 150^{\circ}$として、$\hat{A}$を求めます。

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$\hat{A} = 30^{\circ}$

280

$H$が二等辺三角形$ABC$底辺$\overline{BC}$と$B\hat{H}C = 50^{\circ}$の垂心である場合、三角形の角度を求めます。

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$25^{\circ}$、$25^{\circ}$、$130^{\circ}$

281

$P$が三角形$ABC$と$B\hat{P}C = 125^{\circ}$の内心である場合、$\hat{A}$を求めます。

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$\hat{A} = 70^{\circ}$

282

二等辺三角形 の 外心 は三角形の内側にあり、2 つの 垂直二等分線 は $50^{\circ}$ の角度を形成します。この三角形の角度を求めます。

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($50^{\circ}$、$50^{\circ}$、$80^{\circ}$) または ($65^{\circ}$、$65^{\circ}$、$50^{\circ}$)

283

「等しいマーク」が付いたセグメントが合同であるとみなして、次の場合の未知数の値を決定します。

中央値を持つ三角形と寸法 8 と x を持つ平行四辺形。
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a) $x = 4$ および $y = 6$ · b) $x = 4$

284

三角形の 4 つの注目すべき点を考慮します: a) 三角形の外側にあるものはどれですか? b) 片側の中点は何でしょうか? c) 三角形の頂点は何でしょうか?

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a) 外心 および 垂心 ・ b) 外心 ・ c) 垂心

285

三角形 $ABC$ では、角度 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ はそれぞれ $86^{\circ}$ と $34^{\circ}$ を測定します。辺$\overline{BC}$に対して垂直二等分線がなす鋭角と、角$\hat{C}$の角の二等分線がなす鋭角を求めます。

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$60^{\circ}$

286

三角形 $ABC$ では、角度 $\hat{A}$ と $\hat{B}$ はそれぞれ $70^{\circ}$ と $60^{\circ}$ を測定します。 3 つの高さの交点によって形成される 2 つの最大角度間の比率を決定します。

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$\dfrac{13}{12}$ または $\dfrac{12}{13}$

287

1 つの 正三角形 の 垂直二等分線 によって形成される 3 つの鈍角の寸法を決定します。

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各$120^{\circ}$

288

図中、$Q$は$\overline{AB}$の中点、$\overline{QP}$は$\overline{BC}$と平行です。 $AC = 30$cmなので$PO$を求めます。

BC と点 O に平行な線分 QP を持つ直角三角形 ABC。
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$PO = 5$ cm

289

図中、$ABCD$は長方形、$M$は$\overline{CD}$の中点、三角形$ABM$は等辺です。 $AB = 15$なので$AP$を計算します。

正三角形 ABM と点 P を持つ長方形 ABCD。
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$AP = 10$; $P$ は三角形 $ACD$ の 重心 であることに注意してください。

290

図の三角形 $ARS$ の周囲長を決定します。ここで、$AB$ と $AC$ はそれぞれ 15 cm と 18 cm を測定します。$\overline{BQ}$ と $\overline{CQ}$ は三角形 $ABC$ の角 $\hat{B}$ と $\hat{C}$ の 角の二等分線 です。 $\overline{RS}$ と $\overline{BC}$ は平行です。

角の二等分線 BQ および CQ を含む三角形 ABC と BC に平行なセグメント RS。
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33 cm;三角形 $RBQ$ と $SCQ$ は二等辺であることに注意してください。

291

三角形 $ABC$ の 3 つの 角の二等分線 は点 $O$ で交わります。三角形の角度 $\hat{A}$、$\hat{B}$、および $\hat{C}$ の関数として、角度 $A\hat{O}B$、$A\hat{O}C$、および $B\hat{O}C$ の寸法を決定します。

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$A\hat{O}B = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{C}}{2}$; $A\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{B}}{2}$; $B\hat{O}C = 90^{\circ} + \dfrac{\hat{A}}{2}$