ニュートンは史上最大の天才であり、もっとも幸運な人でもあった。宇宙は一つしかなく、それを発見できるのは一度きりなのだから。

— ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、同時代人の記録による

微積分戦争

ニュートンは 1665–1666 年に流率法を作りましたが、発表しませんでした。ライプニッツは 1675 年に独立に微積分にたどり着き、1684 年に発表しました。最初の数年間、争いはありませんでした。1676 年には二人はヘンリー・オルデンバーグを通じて友好的な手紙を交わし、ニュートンは自分の考えをアナグラムに隠しました。

1700 年ごろ、空気が変わりました。ニュートンの支持者たちが、ライプニッツはロンドンで見た手稿から考えを写したのだとほのめかし始めたのです。ライプニッツは王立協会に抗議し、公正な調査を求めました。王立協会は委員会を設置し、1712 年にニュートンに有利な報告書を発表しました。

当時ほとんど知られていなかったことがあります。王立協会の会長はニュートン本人で、報告書を書いたのも彼だったのです。その後、彼は報告書を称賛する書評を匿名で発表しました。

今日の歴史家は、二人がそれぞれ独立に微積分を発明したという点で一致しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、勝ち残った記号を作りました。この争いの代償は大きなものでした。国の誇りのために、イギリスの数学者たちは 1 世紀以上ニュートンの点の記号にこだわり、その間に大陸はライプニッツの $dx$ を使って、ベルヌーイ家やオイラーの手で大きく前進しました。1812 年になってようやく、ケンブリッジの学生たちが解析協会を作り、ライプニッツの記号をイギリスに取り戻しました。

この物語のもう一方の側は、ライプニッツのシリーズで読むことができます。

ニュートン力学の限界

200 年以上、ニュートンの法則はどこでも成り立つように見えました。20 世紀のはじめ、二つの理論がその限界を明らかにしました。

  • 相対性理論。 光の速さに近い速度では、ニュートンが考えたように時間と空間が絶対的なものではなくなります。相対性理論では、動いている時計で測った時間間隔 $t'$ は、静止している人にとってはより長い時間間隔に対応します。

    $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$

    速度 $v$ が光速 $c$ に比べて小さいとき、根号はほぼ 1 になり、ニュートンの世界に戻ります：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。$v\to c$ のときは、差はいくらでも大きくなります。

  • 量子力学。 原子や粒子では、はっきりした軌道というものが意味をもたなくなります。

だからといって、日常生活でニュートンがまちがっているわけではありません。橋、自動車、飛行機、ロケットにとって、彼の力学は今でも使われるほど正確です。相対性理論はニュートンを消し去ったのではなく、ニュートンがどこまで通用するかを示したのです。

讃辞

ニュートンはウェストミンスター寺院に、王や女王たちに囲まれて葬られました。墓碑には、プリズム、反射望遠鏡、鋳造したばかりの硬貨を手にした天使たちと、1680 年の彗星の軌道が描かれた天球儀が刻まれています。

まとめ

  • ニュートンは当時のイギリスの暦では 1642 年、私たちの暦では 1643 年に生まれた。
  • 22 歳のとき、ペストで隔離されていた間に、二項級数、流率法、色の理論を生み出した。
  • 二項式 $(1+x)^\alpha$ は、$|x|<1$ ならどんな指数でも成り立つ。
  • 流率 $\dot x$ は変化率を測り、面積はその逆の操作である。
  • ニュートン法は接線をたどって根に近づく：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。
  • 『プリンキピア』（1687）には三つの運動法則と万有引力の法則がある。
  • 月の検証は、地球の重力が距離の 2 乗に反比例して弱まることを示した。
  • プリズムは白い光にもともとある色を分けるのであって、色を作るのではない。
  • ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。

資料： 手稿への案内、ニュートン・プロジェクト · MacTutor の伝記。

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