演習と解決策

以下の計算機は、演習 29 から 33 について、度、分、秒を使用して計算を段階的に実行します。まずは解いて確認してみてください。

角度を入力し、操作を選択します。 60’‘が1’、60’が1°となる各ステップを示しています。
29

次の測定を簡略化します: a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$

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a) $31^{\circ}10^{\prime}$ b) $47^{\circ}30^{\prime}$ c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ d) $111^{\circ}3^{\prime}$ e) $31^{\circ}$

30

合計を求めます: a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$

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a) $46^{\circ}15^{\prime}$ b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$

31

違いを確認します: a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$

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a) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ ・ b) $10^{\circ}55^{\prime}$ ・ c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ ・ d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

32

製品を決定します: a) $2 \times (10^{\circ}35^{\prime}45^{\prime\prime})$ · b) $5 \times (6^{\circ}15^{\prime}30^{\prime\prime})$

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a) $21^{\circ}11^{\prime}30^{\prime\prime}$ b) $31^{\circ}17^{\prime}30^{\prime\prime}$

33

分割を決定します: a) $(46^{\circ}48^{\prime}54^{\prime\prime}) \div 2$ · b) $(31^{\circ}32^{\prime}45^{\prime\prime}) \div 3$ · c) $(52^{\circ}63^{\prime}42^{\prime\prime}) \div 5$

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a) $23^{\circ}24^{\prime}27^{\prime\prime}$ b) $10^{\circ}30^{\prime}55^{\prime\prime}$ c) $10^{\circ}36^{\prime}44{,}4^{\prime\prime}$

34

以下の場合の$x$の値を求めます。

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a) $20^{\circ}$ b) $55^{\circ}$ c) $60^{\circ}$ d) $23^{\circ}$ e) $25^{\circ}$

35

$\overrightarrow{Oa}$ と $\overrightarrow{Ob}$ は 2 つの反対側の同一直線上にある光線です。 $\overrightarrow{Oc}$ は任意の光線です。角度$a\hat{O}c$と$c\hat{O}b$は隣接していますか?それらは補足的なものですか？

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それらは隣接しており、補完的です。

36

証明: 2 つの角が頂点で対向している場合、それらは合同です。

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これは、上で示した頂点の反対側の角度の定理です。$x + z = 180^{\circ}$ と $y + z = 180^{\circ}$ は $x = y$ を与えます。

37

以下の場合の$x$の値を求めます。

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a) $25^{\circ}$ b) $30^{\circ}$

38

以下の場合の$\alpha$の値を求めます。

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a) $(2x - 10^{\circ}) + (x + 40^{\circ}) = 90^{\circ} \Rightarrow x = 20^{\circ}$、$\alpha = 60^{\circ}$の順です。

b) 頂点の反対側: $3x - 15^{\circ} = x + 35^{\circ} \Rightarrow x = 25^{\circ}$、それぞれの寸法は $60^{\circ}$。 $\alpha$ は補足: $\alpha = 120^{\circ}$ です。

c) $x + y = 2x - y \Rightarrow x = 2y$;そして$(4x - 2y) + (x + y) = 180^{\circ}$。したがって、$y = 20^{\circ}$、$x = 40^{\circ}$、および $\alpha = 4x - 2y = 120^{\circ}$ となります。

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a) $\alpha = 60^{\circ}$ b) $\alpha = 120^{\circ}$ c) $\alpha = 120^{\circ}$

39

$\overrightarrow{OP}$が角の二等分線または$A\hat{O}B$の場合、次の場合に$x$を求めます。

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a) $x = 15^{\circ}$ b) $x = 10^{\circ}$

演習 40 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 2 つの連続する角度が隣接しています。
  2. 2 つの隣接する角度は連続しています。
  3. 2 つの隣接する角度は頂点によって向かい合っています。
  4. 頂点で反対側の 2 つの角が隣接しています。
  5. 頂点の反対側の 2 つの角度が連続しています。

演習 41 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 2 つの補角が隣接しています。
  2. 2 つの相補角が隣接しています。
  3. 2 つの隣接する角度は相補的です。
  4. 測定角度 $10^{\circ}$、$20^{\circ}$、および $60^{\circ}$ は相補的です。
  5. 測定角度$30^{\circ}$、$60^{\circ}$、$90^{\circ}$は補足的なものです。
42

次の図の角度は相補的ですか?それらは隣接していますか?

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これらは相補的 ($60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$) ですが、隣接していません。

43

以下の場合、$m(r\hat{O}s) = 90^{\circ}$ の場合の $x$ の値を計算します。

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$x = 10^{\circ}$、つまり $2x + 3x + 4x = 90^{\circ}$。

44

隣接する 2 つの角度の合計は $120^{\circ}$ です。それぞれの角度の寸法を計算します。そのうちの 1 つの寸法は、もう 1 つの寸法の 3 倍と $40^{\circ}$ の差であることがわかります。

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$40^{\circ}$ と $80^{\circ}$。

45

次の角度の補数を計算します: a) $25^{\circ}$ · b) $47^{\circ}$ · c) $37^{\circ}25^{\prime}$

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a) $65^{\circ}$ b) $43^{\circ}$ c) $52^{\circ}35^{\prime}$

46

次の角度の補足を計算します: a) $72^{\circ}$ · b) $141^{\circ}$ · c) $93^{\circ}15^{\prime}$

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a) $108^{\circ}$ b) $39^{\circ}$ c) $86^{\circ}45^{\prime}$

47

測定角度 $x$ が与えられた場合、次のことを示します。 a) その補数。 b) その補足。 c) その補数を 2 倍にする。 d) サプリメントの半分。 e) サプリメントを 3 倍にする。 f) 補語の 7 番目の部分。 g) 補足の 5 番目の部分。 h) その 3 番目の部分の補足。 i) その第 5 部の補足を 3 倍にする。

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a) $90^{\circ} - x$ ・ b) $180^{\circ} - x$ ・ c) $2(90^{\circ} - x)$ ・ d) $\dfrac{180^{\circ} - x}{2}$ ・ e) $3(180^{\circ} - x)$ ・ f) $\dfrac{90^{\circ} - x}{7}$ ・ g) $\dfrac{180^{\circ} - x}{5}$ ・ h) $90^{\circ} - \dfrac{x}{3}$ ・ i) $3\left(180^{\circ} - \dfrac{x}{5}\right)$

例問題を翻訳する方法

角度を$x$と呼びます。したがって、補数は $90^{\circ} - x$、補数は $180^{\circ} - x$ です。文を方程式に変換します。練習問題 52 では、「角度が $76^{\circ}$ の補数を超えています」は $x - (90^{\circ} - x) = 76^{\circ}$ となり、したがって $2x = 166^{\circ}$ と $x = 83^{\circ}$ になります。

48

補数の 2 倍となる角度の尺度を与えます。

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$60^{\circ}$

49

補数の 3 倍に等しい角度の測定値を決定します。

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$67^{\circ}30^{\prime}$

50

その補数の 4 倍の角度を計算します。

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$72^{\circ}$

51

サプリメントの 4 分の 1 が $36^{\circ}$ の価値があると考えて、角度を計算します。

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$36^{\circ}$

52

$76^{\circ}$だけ補数を超えた角度はいくらですか?

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$83^{\circ}$ (上記の例では解決されています)。

53

補足を$66^{\circ}$超える角度は何ですか?

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$123^{\circ}$

54

補足が角度自体を $70^{\circ}$ 超えることを認識して、角度を決定します。

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$55^{\circ}$

55

補数を 3 倍に加算すると $210^{\circ}$ となる角度は何ですか?

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$30^{\circ}$

56

角度が補数を $48^{\circ}$ 超えています。この角度の補足を決定します。

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$111^{\circ}$ (角度は $69^{\circ}$ を測定します)。

57

角度の追加はこの角度を $120^{\circ}$ 超えます。角度を決めます。

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$30^{\circ}$

58

角度の 3 の補数がその角度の補数を $30^{\circ}$ だけ超えます。角度を決めます。

この本の解像度を参照してください

角度: $x$;角度補数: $90^{\circ} - x$; 3 番目の部分の補数: $90^{\circ} - \dfrac{x}{3}$。

$$\left(90^{\circ} - \frac{x}{3}\right) - (90^{\circ} - x) = 30^{\circ} \ \Longrightarrow\ \frac{2x}{3} = 30^{\circ} \ \Longrightarrow\ x = 45^{\circ}.$$
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$45^{\circ}$

59

角度の半分の補数の 3 倍の補数は、その角度の補数の 3 倍に等しい。角度を決めます。

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$80^{\circ}$

60

角度の補数の補数が、$85^{\circ}$ におけるその角度の 2 倍の補数の 1/3 を超えます。角度を決めます。

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$15^{\circ}$

61

2 つの角度は補数であり、一方の補数と他方の補数の比率は、この順序で $\dfrac{1}{8}$ になります。これらの角度を決定します。

この本の解像度を参照してください

$x$ と $y$ を測定値とします。 1 の補数: $90^{\circ} - x$;その他の補足: $180^{\circ} - y$。

$$x + y = 180^{\circ} \quad\text{e}\quad \frac{90^{\circ} - x}{180^{\circ} - y} = \frac{1}{8} \ \Longrightarrow\ 720^{\circ} - 8x = 180^{\circ} - y.$$

$y = 180^{\circ} - x$ の場合: $720^{\circ} - 8x = x$、次に $x = 80^{\circ}$、$y = 100^{\circ}$。

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$80^{\circ}$ および $100^{\circ}$

62

2 つの角度は $\dfrac{4}{9}$ の関係にあります。その和を$130^{\circ}$とし、最小値の補数を求めます。

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$50^{\circ}$ (角度は $40^{\circ}$ と $90^{\circ}$ を測定します)。

63

一方が他方の 3 倍であることを知って、2 つの補助角を決定します。

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$135^{\circ}$ および $45^{\circ}$

64

2つの角度は補足的です。そのうちの 1 つは、もう 1 つの 4 番目の部分を補うものです。これらの角度を計算します。

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$60^{\circ}$ および $120^{\circ}$

65

2 つの補角間の比は $\dfrac{2}{7}$ に等しくなります。マイナーの補数を決定します。

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$50^{\circ}$ (角度は $40^{\circ}$ と $140^{\circ}$ を測定します)。

66

角度とその補数の比率が $\dfrac{5}{4}$ に等しいことがわかっているので、角度の補数を決定します。

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$40^{\circ}$ (角度は $50^{\circ}$ を測定します)。

67

角度の補数は、2 ～ 7 のように補数になります。角度の大きさを計算します。

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$54^{\circ}$

68

角度の補数を 3 倍し、$50^{\circ}$ ずつ増加すると、角度の補数に等しくなります。角度の寸法を決定します。

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$70^{\circ}$

69

2 つの補角の寸法を決定します。一方を 2 倍し、もう一方の 7 番目の部分を加算すると、$100^{\circ}$ になります。

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$40^{\circ}$ および $140^{\circ}$

70

角度とその補数の 3 番目の部分の合計は $46^{\circ}$ になります。この角度の補足を決定します。

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$156^{\circ}$ (角度は $24^{\circ}$ を測定します)。

71

一方の 2 倍、もう一方の 3 分の 1 を加えたものが直角に等しくなるように、2 つの補角を決定します。

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$36^{\circ}$ および $54^{\circ}$

72

図では、角度 $x$ は角度 $y$ の 6 分の 1 に角度 $z$ の半分を加えたものです。角度$y$を計算します。

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$x$と$z$は頂点の反対なので$z = x$となります。条件から$x = \dfrac{y}{6} + \dfrac{x}{2}$、つまり$y = 3x$となります。 $x + y = 180^{\circ}$として、$4x = 180^{\circ}$、$x = 45^{\circ}$、$y = 135^{\circ}$が続きます。

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$y = 135^{\circ}$

73

角度$\alpha$と$\beta$は頂点で反対になります。 1 つ目は $9x - 2$ で度数で表され、2 つ目は $4x + 8$ で表されます。これらの角度を決定します。

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$16^{\circ}$ および $16^{\circ}$ ($x = 2$)。

74

5 本の光線は同じ点 $V$ から始まり、平面全体をカバーする 5 つの角度を形成し、2、3、4、5、6 の数値に比例します。最大の角度を計算します。

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$108^{\circ}$

75

頂点の反対側の 2 つの角度の 角の二等分線 が反対の光線であることを示します。 (o.p.v. 角度図の「x と y の 角の二等分線」ボタンを使用します。)

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角の二等分線 は $x/2 + (180^{\circ} - x) + x/2 = 180^{\circ}$ の角度を形成します。 $180^{\circ}$ の角度を形成する同じ原点を持つ 2 つの光線は反対です。

76

2 つの隣接する補角の 角の二等分線 が直角を形成することを示します。

この本の解像度を参照してください

仮説: $r\hat{O}s$ と $s\hat{O}t$ は隣接しており、補足的です。 $\overrightarrow{Ox}$ と $\overrightarrow{Oy}$ は 角の二等分線 です。 論文: $x\hat{O}y$ はストレートです。

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$a$ を $r\hat{O}x$ と $x\hat{O}s$ の尺度とし、$b$ を $s\hat{O}y$ と $y\hat{O}t$ の尺度とします。それから

$$a + a + b + b = 180^{\circ} \ \Longrightarrow\ 2a + 2b = 180^{\circ} \ \Longrightarrow\ a + b = 90^{\circ},$$

したがって、$x\hat{O}y$ は直線です。

77

2 つの隣接する補角の 角の二等分線 が角度 $45^{\circ}$ を形成することを示します。

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$a + a + b + b = 90^{\circ} \Rightarrow a + b = 45^{\circ}$.

78

隣接する 2 つの角度の合計は $136^{\circ}$ になります。 角の二等分線 が形成する角度はどれくらいですか?

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$68^{\circ}$

79

連続する 2 つの角度の 角の二等分線 は、$52^{\circ}$ の角度を形成します。一方の測定値が $40^{\circ}$ の場合、もう一方の測定値は何ですか?

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角度が隣接しているかどうかに応じて、$64^{\circ}$ または $144^{\circ}$。