この記事では、数学の要素の基礎となる、数学の原始的な要素について学びます。この章は集合論に特化していますが、ゆっくりと見ていきましょう。各投稿では、この複雑で緻密な理論について少し説明します。

集合論では、いくつかの原始的な概念が必要です。

  • 原始的な集合の概念。
  • 私たちが使用するメンバーシップという原始的な概念は、$\in$ に属します。

関連性

関連して、セット間の関係は次のように確立できます。

  • $x$ が要素で、$A$ がセットの場合。
  • $x \in A$ という式は次のことを意味します。
    • 「$x$は$A$に属します」
    • 「$x$ は $A$ にあります」

先ほど説明した$x$ を要素として定義します。

関連性の例

本はライブラリ セットに属します。

ユークリッドの作品。

定義

定義1: $x\in A,$、$x$ が要素となるような集合$A$と$x$とします。具体的には、$x$ は $A$ に属する $A$ または $x$ の要素です。

注: 定義の否定、つまり x は $A,$ の要素ではありません。$x \notin A,$ と書きます。これは、「$x$ は $A$ に属さない」ことを意味します。

このセットとメンバーシップのペアは、セットと要素を扱うときに覚えておく必要がある最初の基本的な概念です。

使用される規則では、セットには大文字が使用され、要素には小文字が使用されます。

次に、集合の等価性の概念を定義します。

定義 2: $A=B$ となる 2 つのセット $A$ と $B$ があるとします。この場合、集合$A$は$B$ と等しいと言い、その逆も同様です。象徴的に次のように書きます。

$$A=B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x)~ [(x\in A \rightarrow x\in B) \wedge (x\in B \rightarrow x\in A)]$$

「すべての $x$ について、($x$ が $A$ に属していることは、$x$ が $B$ に属していることを意味します)、および ($x$ が $B$ に属していることは、$x$ が $A$ に属していることを意味します)。」

ユークリッドの作品。

別の言い方をすると、$A$ と $B$ が同じ要素を持つ場合に限り、$A$ は $B$ と等しいと言えます。

次に集合論の最初の公理を提示します。

拡張公理

拡張公理: $x=y$ と $x\in A,$ の場合は $y\in A$。

インクルージョン

集合論では、特定の集合が他の集合に含まれる可能性があるため、包含の概念、つまりサブセットの概念が重要です。

ユークリッドの作品。

インクルージョンの定義

定義 3: A と B をセットとすると、次のようになります。

  • $B,$には$A$が含まれます(または$B$には$A$が含まれます)
  • $a \subseteq B$ (または $B \supseteq A$) で表します。
  • $A$ のすべての要素が $B.$ の要素である場合
  • この場合、$A$ は $B.$ のサブセットであるとも言います。

象徴的に次のように書きます。

$$A \subseteq B \quad \Leftrightarrow \quad (\forall x) (x\in A \rightarrow x \in B).$$
ユークリッドの作品。

適切なサブセットの定義

次に、独自のサブセットを定義しましょう。

定義 3: $A \subseteq B$ と $A$ が B と異なる場合、$A$ は B の適切なサブセットであると言います。 $B$、それを $A \subsetneq B$ または $A \subset B.$ で表します

これから、この投稿の最初の命題が得られます。

インクルージョンの提案

命題: $A, B$ と $C$ を集合とする。したがって、次のようになります。

1。反射：$A = A$。 2。対称: $A = B \Rightarrow B = A$。 3。推移: $A = B$ および $B = C \Rightarrow A = C$。 4。反射：$A \subseteq A$。 5。反対称: $A \subseteq B$ および $B \subseteq A \Leftrightarrow A = B$ 6。推移: $A \subseteq B$ および $B \subseteq C \Rightarrow A \subseteq C$。

デモ:

実例として、いくつかの項目を説明します。残りは演習として残ります。

  1. 命題 $x \in A \rightarrow x \in A$ はトートロジーです。

定義 1 から、$A = A.$ が得られます。

  1. 1 の定義から、
$$A = B \Leftrightarrow (\forall x)[(x \in A \rightarrow x ∈ B) \wedge (x \in B \rightarrow x \in A)$$

ここで、結合語 $\wedge$ と定義 1 の可換性により、$B = A.$ が得られます。

  1. 定義 2 から、$A \subseteq B \wedge B \subseteq A$ は次の命題と同等であることがわかります。
$$(\forall x) [(x \in A \rightarrow x \in B) \wedge (x \in B \rightarrow x \in A)]$$

これは、1 の定義により $A = B$ と同等になります。 $\square$

これまで、集合論のいくつかの原始的な概念を特定してきました。次の投稿をお待ちください。