次の五行を見てください。

$$x+3=7,\qquad A=b\cdot h,\qquad a+b=b+a,\qquad y=kx,\qquad \sin^2x+\cos^2x=1.$$

どれも文字を使っていて、どれも代数に見えます。けれども、文字が同じことをしている行は一つもありません。

  • $x+3=7$ では、$x$ は決まっているが知られていない数です。当てはまるのは $4$ だけ。これは未知数です。
  • $A=b\cdot h$ では、文字は何も隠していません。三つの量がどう関係しているかを言っています。これは公式であり、文字はいっしょに変わる量です。
  • $a+b=b+a$ では、文字は任意の数です。この文はどの二つの数についても成り立ちます。文字は一般化しています。
  • $y=kx$ では、$x$ と $y$ が動き、$k$ は止まっています。$k$ はパラメータです。それぞれの問題では固定されていますが、任意です。
  • $\sin^2x+\cos^2x=1$ では、$x$ はやはり任意ですが、この文は解くべき方程式ではありません。すべての $x$ について正しい恒等式です。

ユーシスキンの考え方

1988 年、アメリカの教育学者ザルマン・ユーシスキン（Zalman Usiskin）は、のちに古典となった論文で、学校の代数には少なくとも四つの考え方が混ざっていて、それぞれが文字に違う役割を与えている、と述べました。

代数の考え方 文字は何か 例
一般化された算術 パターンを一般化する任意の数 $a+b=b+a$
問題解決 未知数、見つけ出すもの $3x+5=20$
関係の研究 変数、ほかの量といっしょに変わるもの $y=2x+1$
構造の研究 規則にしたがって操作される任意の記号 $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

最後の行では、だれも数のことを考えていません。$x$ と $y$ は、チェスの駒のように規則にしたがって動かされる印です。この四つに、ここでは本全体に出てくる五つめを加えます。名前としての文字です。関数の名前（$f$）、定数の名前（$\pi$、$e$、$c$）、対象の名前（点 $A$、直線 $r$）。

書かれたものは注意してくれない

記号論的な問題は、どの役割でも書き方が同じだということです。シニフィアンのどこにも、未知数と変数を区別するものはありません。どちらも斜体の $x$ です。決め手になるのは文脈、モリスが語用論と呼んだものです（第 2 章を参照）。手がかりはたいてい小さな言葉で、生徒はそれを無視することを覚えてしまいますが、無視すべきではありません。

  • 「……となる $x$ を求めよ」は未知数を告げます。
  • 「すべての $x$ について……」や「$a$、$b$ を実数とする」は任意の数を告げます。
  • 「$x$ が増えるとき、$y$ は……」は変数を告げます。
  • 「$a>0$ が与えられたとき……」はパラメータを告げます。

プロの数学者は、気づかないうちにこれらの手がかりを読んでいます。生徒はそうした手がかりがあることさえ知らないことが多く、その結果は第 8 回で見る誤りに現れます。

練習：それぞれの文字の役割は？

(a) $2n$ はいつも偶数である。(b) $2x=10$。(c) $s=s_0+vt$。(d) $(a+1)^2=a^2+2a+1$。

(a) $n$ は任意の整数で、文字は一般化しています。(b) $x$ は未知数で、$5$ だけです。(c) $s$ と $t$ はいっしょに変わり、$s_0$ と $v$ はパラメータで、運動ごとに固定されています。(d) $a$ は任意です。これは恒等式で、式変形では文字を任意の記号として扱えます。

練習：同じ書き方、二つの役割

式 $x^2=4x$ は二通りに読めます。方程式としては、これを正しくする $x$ の値を問うています。$x^2-4x=0$、$x(x-4)=0$ なので、$x=0$ または $x=4$。関数の比較としては、曲線 $y=x^2$ と $y=4x$ を比べていて、解は二つの曲線が交わる点になります。書き方はまったく同じで、変わるのは読者がそれで何をするかです。

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