*Banca、trapeza、mensa*: 1450 と 1650 の間の最初のバンカーのテーブル。したがって、銀行と銀行という言葉が由来します。
Banca、trapeza、mensa: 1450 と 1650 の間の最初のバンカーのテーブル。したがって、銀行と銀行という言葉が由来します。オイラーの目コレクション

オイラーに到達する前に、$e$ という数字が銀行を通過しました。お金の語彙はラテン語に由来しています。 depositum (預けられたもの、ponere から)、creditum (信頼されたもの、credere から、信じること)、および 十郎（ジュス、ジュリスより右）。

R$ 100 が**100%/ 年**に適用されると想像してください。銀行が年末に一度だけ支払った場合、あなたは受け取ることができます。 R$200。しかし、1 年をいくつかの期間に分割し、利息を支払うとしたらどうなるでしょうか?

年間の期間 期間あたりの料金 アカウント 年末に
1 (年間) 100% $(1 + \frac{1}{1})^1 = 2$ R$ 200,00
2 (6 か月ごと) 50% $(1 + \frac{1}{2})^2 = 2{,}25$ R$ 225,00
4 (四半期ごと) 25% $(1 + \frac{1}{4})^4 \approx 2{,}4414$ R$ 244,14
12 (毎月) ≈ 8,33% $(1 + \frac{1}{12})^{12} \approx 2{,}6130$ R$ 261,30
365 (毎日) ≈ 0,27% $(1 + \frac{1}{365})^{365} \approx 2{,}7146$ R$ 271,46

期間が $n$ の場合、大文字は $C_0$ になります。

$$C_n = C_0\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$$
ステップは利息の支払いです。期間が増えるほど、ステップは破線の曲線に近づき、最終値は 100 · e に達します。

最終的な値は増加しますが、際限なく増加するわけではありません。整数でも分数でもない数値に近づきます。

$$\begin{aligned} \left(1 + \tfrac{1}{10}\right)^{10} &= 2{,}5937\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100}\right)^{100} &= 2{,}7048\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{1000}\right)^{1000} &= 2{,}7169\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{10\,000}\right)^{10\,000} &= 2{,}7181\ldots \\ \left(1 + \tfrac{1}{100\,000}\right)^{100\,000} &= 2{,}7182\ldots \end{aligned}$$
$$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e = 2{,}718281828\ldots$$
「1 は無限大を超え、無限大まで引き上げられます」: 数値 e を与える制限を覚える非公式な方法。
「1 は無限大を超え、無限大まで引き上げられます」: 数値 e を与える制限を覚える非公式な方法。オイラーの目コレクション
ジョン・ネイピア (1550 – 1617)、対数の発明者。
ジョン・ネイピア (1550 – 1617)、対数の発明者。オイラーの目コレクション

ヤコブ ベルヌーイは、名前を付けずに、1683 でこの制限をすでに研究していました。オイラーはそれを $e$ と名付けました。 これは系列の合計でもあることを示しました。

$$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2 \cdot 1} + \frac{1}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} + \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

はじめに (1748) で、オイラーは $e$ の小数点第 1 位 23 を計算しました。

Scribatur pro numero その対数はunitas, e, qui est 2,7182817… (対数が単位である数値には e と書きます。)

— レオンハルト・オイラー、1727 – 1728 の原稿

文字 $e$ へのパス:

  1. 1614
    John Napier は、最初の対数表である Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio を公開しました。
  2. 1618
    エドワード・ライトによって作成されたネイピアの著作の英語翻訳の付録には、今日私たちが $e$ と呼ぶ底の対数が含まれています。
  3. 1647
    グレゴワール・ド・サン・ヴァンサンは、双曲線の下の面積が対数として増加することを示しています。
  4. 1668
    ニコラウ・ メルカトルは対数モテクニアの自然対数（自然対数）という名前を付けました。
  5. 1683
    ヤコブ・ ベルヌーイは複利の限界を研究しています。
  6. 1727
    オイラーは、1862 でのみ出版された原稿で $e$ という文字を使用しています。
  7. 1748
    はじめに では、オイラーは $e$ を系列として書き込み、小数点以下の 23 桁を計算します。
数値 e は底 e の対数であり、ln と書きます。
数値 e は底 e の対数であり、ln と書きます。オイラーの目コレクション

なぜ「自然」なのか? 最も単純な導関数の対数だからです。 $e$ を定義する制限を使用する ($n = x/\Delta x$ では、$\Delta x$ がゼロになると無限大になります):

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\ln x &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\ln(x + \Delta x) - \ln x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\Delta x}\ln\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right) = \frac{1}{x}\lim_{n \to \infty}\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} \\ &= \frac{1}{x}\ln e = \frac{1}{x}. \end{aligned}$$

次に、$e^x$ の最も有名なプロパティが続きます。 $\ln(e^x) = x$ として、両側を導き出すと次のようになります。

$$\frac{1}{e^x}\cdot\left(e^x\right)' = 1 \quad\Longrightarrow\quad \left(e^x\right)' = e^x.$$

$e^x$は微分そのものと等しい関数です。このプロパティは、4 に関する発見の鍵です。 微分方程式。

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