Euler's Eyes
2026-10-12
計量関係とコサイン定理
ピタゴラスの定理には角度が正しくない場合の修正項があります。この用語は余弦の法則です。
発見者
このトピックの計量関係は、ユークリッド (紀元前 300 頃) の 原論 にあります。地域言語では、命題 II.12 は鈍角の反対側を扱い、II.13、鋭角の反対側。コサイン形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ は、三角関数表とともにずっと後に登場しました。ペルシャの天文学者ジャムシード・ アル＝ カシは、1427 の算術の鍵でそれを発表しました。フランスでは、余弦の法則は今でもテオレム・ダル・カシと呼ばれています。 フランソワ・ ヴィエットは1593にコサインを付けて書きました。
歴史
ユークリッドには長さを表すコサインや数値はありませんでした。同氏は、鈍角の反対側の辺の正方形は、他の2辺の正方形の合計よりも、一方の辺と他方の辺の投影によって形成される「長方形の2倍」大きいと述べた。このトピックと同じ関係で、領域で書かれています。
$a^2$ と $b^2 + c^2$ を比較すると、簡単なテストが行われます。3 つの辺を知るだけで、三角形が鋭角か直角か鈍角かがわかります。
日常生活での応用
- 航海。 10 km 進み、40° 回転してさらに 6 km 進むボートは、余弦の法則によって計算される港からの距離です。
- ロボット工学。 2 セグメントのロボット アームの関節角度は余弦の法則によって計算されます。
- 地形 土地の 2 つの辺とそれらの間の角度を測定すると、3 番目の辺は余弦の法則から外れます。
- スポーツ アナリストは、2 人のプレーヤーと 3 人目のプレーヤーの間の距離とそれらの間の角度に基づいてパスの距離を計算します。
出典: 要素、命題 II.12 · 要素、命題 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。
理論と作図
メトリックの関係
定理鋭角の反対側
どの三角形でも鋭角の反対側の辺の正方形は、他の2つの辺の正方形の和から、これらの辺の一方とその辺へのもう一方の投影の積の2 倍をマイナスした値に等しい。
$$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$定理鈍角の反対側
鈍角三角形では、 その鈍角の反対側の辺の正方形は、他の 2 つの辺の正方形の和に、一方の辺と他方の辺のその辺（または鈍角を含む直線）への投影の積の 2 倍を足したものに等しい。
$$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$デモを参照してください (両方の場合の結合)
先頭の $\overline{CD} = h_c$、側面 $c$ に対する相対的な高さは次のようになります。
- $\triangle CDB$: $a^2 = h_c^2 + (c \mp m)^2$、$\hat A$ が鋭角の場合は $-$、$\hat A$ が鈍角の場合は $+$ の符号が付きます。
- $\triangle CDA$: $h_c^2 = b^2 - m^2$。
置換: $a^2 = b^2 - m^2 + c^2 \mp 2cm + m^2$、つまり
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2cm \quad (1) \qquad \text{ou} \qquad a^2 = b^2 + c^2 + 2cm \quad (2).$$コサイン定理
定理コサイン定理（余弦の法則）
どの三角形でも、1 つの辺の 2 乗は、他の 2 つの辺の 2 乗の合計から、これら 2 つの辺の積の 2 倍とそれらの辺によって形成される角度の余弦を引いたものに等しくなります。
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A, \qquad b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B, \qquad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$$デモを見る
$\hat A$ が急性の場合: $\triangle CDA$、$\cos A = \dfrac{m}{b}$ では $m = b\cos A$。 (1) を $a^2 = b^2 + c^2 - 2c\,(b\cos A)$ に置き換えます。
$\hat A$ が鈍角の場合は、$\triangle CDA$、$\cos(180^{\circ} - A) = \dfrac{m}{b}$、つまり $-\cos A = \dfrac{m}{b}$、$m = -b\cos A$ です。 (2) を $a^2 = b^2 + c^2 + 2c\,(-b\cos A)$ に置き換えます。
どちらの場合も $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ です。 $\hat A$ が直線の場合、$\cos A = 0$ となり、ピタゴラスの定理に戻ります。
三角形の性質を認識する
三角形の各辺の寸法を知り、その最大のものを $a$、他の 2 つを $b$ と $c$ と呼び、$|b - c| < a < b + c$ と覚えておくと、三角形の性質がわかります。
まとめ三角形の性質
| $a^2 < b^2 + c^2$ | 三角形直角 |
| $a^2 = b^2 + c^2$ | 三角形長方形 |
| $a^2 > b^2 + c^2$ | 三角形鈍角 |
デモンストレーションは、前の関係からすぐに続きます。