数値 $e$ は次のように連続して書くことができます。

$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

オイラーは指数に虚数を入れる勇気を持っていました。 $x$を$i\theta$に変更し、 $i^2 = -1$、$i^3 = -i$、$i^4 = 1$ を使用:

$$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + i\frac{\theta^5}{5!} - \cdots$$

$i$ のない用語と $i$ の用語を分ける:

$$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\right)}_{\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots\right)}_{\sin\theta}$$

括弧内の 2 つの系列は、まさにコサインとサインの系列です。これが公式です。 オイラー:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta.$$

幾何学的には、$e^{i\theta}$ は半径 1 の円上を歩く点です。実数部は コサイン、虚数部はサインです。点の回転を確認してください。

点 e^(iθ) は円の周りを一周します。青い射影は cos θ、金色の射影は sin θ です。 「θ = πへ」をクリックします。

次に $\theta = \pi$ を実行します。 $\cos\pi = -1$ と $\sin\pi = 0$ として、$e^{i\pi} = -1$ があります。つまり、次のようになります。

$$e^{i\pi} + 1 = 0.$$

数学で最も重要な 5 つの数字が 1 行に表示されます ($0$、$1$、$e$、$i$、$\pi$)。 そして 3 つの基本演算 (加算、乗算、べき乗)。だからこそよく言われるのですが、 「数学で最も美しい方程式」。オイラーの公式は今日でも電気工学で使用されています。 信号処理と量子物理学。

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