Euler's Eyes
2026-10-11
万有引力：リンゴから月へ
リンゴは落ちるのに、なぜ月は落ちてこないのでしょう？
ニュートン以前、答えは簡単に思えました。天と地は別の規則に従っている。地上ではものは落ちる。天上では星々が完全な円を永遠に回り続ける。ニュートンの偉大な発想は、この区別を疑ったことです。もしかすると、月はずっと落ち続けているのではないか。
ニュートンの大砲
『プリンキピア』のための草稿で、ニュートンは思考実験を提案しました。とても高い山の頂上に大砲を置き、水平に撃ちます。火薬が少なければ、砲弾は近くに落ちます。多ければ、もっと遠くに落ちます。でも地球は丸い。砲弾が十分に速ければ、地面は砲弾が落ちるのとちょうど同じだけ下に曲がっていきます。砲弾は永遠に落ち続け、決して地面に届きません。軌道に乗ったのです。
地表近くでは、その速さは秒速約 7.9 km、時速 2 万 8000 km です。低軌道を回る人工衛星の速さです。一周は約 84 分（空気抵抗を無視した場合。実際には衛星は大気よりずっと高いところを飛ばなければなりません）。
月はこの砲弾なのです。月は一瞬ごとに地球に向かって落ちていますが、横に動く速さが大きすぎて、決して落ちてきません。
逆 2 乗の法則
この考えが成り立つには、重力は距離とともに弱まらなければなりません。ニュートンは、重力は距離の 2 乗に反比例すると仮定しました。今日の記号では
$$F=G\,\frac{Mm}{r^2}.$$$M$ と $m$ は二つの質量、$r$ は中心間の距離、$G$ は普遍定数です。距離が 2 倍になれば力は $1/2^2=1/4$ に、3 倍になれば $1/9$ になります。
月の検証
ニュートンは、この仮定を科学に変える計算をしました。月は地球の中心から地球半径の約 60 倍の距離にあります。重力が距離の 2 乗に反比例して弱まるなら、月の加速度は地表のリンゴの $60^2=3600$ 分の 1 のはずです。
$$\frac{9.81}{3600}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$今度は天文学だけを使って、別の方法で月の加速度を測ってみましょう。月は半径 $r\approx384\,400$ km の円を約 $T\approx27.3$ 日で回ります。円運動する物体の加速度は
$$a=\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{4\pi^2\cdot3.844\times10^8}{(27.32\cdot86\,400)^2}\approx0.00272\ \text{m/s}^2.$$二つの数は一致します。リンゴを落とす力と月をつなぎとめる力は同じものなのです。ニュートンは、結果が「かなりよく一致した」と書いています。ただし 1666 年には地球の半径として不正確な値を使っていたため、一致は完全ではありませんでした。何年も後、よりよい測定値が得られて、計算はようやくぴったり合いました。
4 行で導くケプラー
その数十年前、ケプラーは天文データから、惑星の周期の 2 乗が軌道の大きさの 3 乗に比例することを見つけていました。なぜそうなるのかは誰も知りませんでした。万有引力と第二法則を使えば、少なくとも円軌道については、説明は数行で済みます。
重力は物体を曲がった道にとどめる力です。
$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2=\frac{GM}{r}.$$一周の長さは $2\pi r$ なので、周期は $T=\dfrac{2\pi r}{v}$。2 乗して $v^2$ を代入すると、
$$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}\,r^3.$$これがケプラーの第三法則です。楕円軌道では計算はもっと長くなりますが、ニュートンは『プリンキピア』でそれをやり遂げ、逆 2 乗の力のもとでの軌道は楕円になることも示しました。1684 年にハレーに答えたとおりです。
普遍的な法則
この理論のもっとも大胆な言葉は万有です。同じ法則がリンゴにも、衛星にも、惑星にも、彗星にも当てはまります。1846 年、天王星の軌道の乱れから、ユルバン・ルヴェリエは未知の惑星があるべき位置を計算しました。天文学者がそこに望遠鏡を向けると、海王星が見つかりました。見られる前に、紙と鉛筆で発見されたのです。
練習：軌道の半径が 3 倍になると、周期はどう変わるか？
$T^2\propto r^3$ より $T\propto r^{3/2}$。周期は $3^{3/2}=3\sqrt3\approx5.2$ 倍になります。
練習：地球の中心からどれだけ離れると、重力は地表の 1/4 になるか？
力は $1/r^2$ で弱まります。4 分の 1 にするには距離を 2 倍にすればよく、地球半径の 2 倍、つまり中心から約 12 700 km です。
資料： ニュートン・プロジェクトの年表 · ニュートンと『プリンキピア』、MacTutor。