以前の投稿ではスチュワートの定理について説明しましたが、ここでは正多角形の円周関係について説明します。円と正多角形の関係は、幾何学における魅力的かつ複雑なトピックです。正多角形は、合同な辺と角を持つ幾何学的図形であり、円は無限の数の辺を持つ正多角形の限定的なケースとして見ることができます。

正多角形が円に内接するとき、その各頂点は円に接し、多角形の中心は円の中心と一致します。これにより、円の半径と、辺や 辺心距離 (中心から辺までの距離) などの多角形の寸法との間に正確な関係を確立することができます。

例えば円に内接する正方形の場合、円の直径と正方形の対角線は等しくなりますので、ピタゴラスの定理を適用すると正方形の一辺と円の半径の関係が分かります。正内接六角形の場合、六角形の各辺は中心から頂点まで伸びる半径の 1 つに等しいため、六角形の辺は円の半径に等しくなります。

歴史

この分野に貢献した最初で最も影響力のある数学者の 1 人はユークリッドで、彼の著作『要素』は、円に内接および外接する正多角形の性質を理解するために使用される公理や定理の多くを確立しました。円を合同な円弧に分割し、これらの円弧から正多角形を形成するという彼の研究は、今でも幾何学の研究の基礎となっています。

もう 1 人の著名な数学者はペルガのアポロニウスです。彼は円錐曲線に関する研究で知られ、多角形と円の関係の理解にも貢献しました。楕円、放物線、双曲線の特性に関する彼の研究は、多角形をその外接円に結び付ける理論の発展に役立ちました。

貢献 ペルガのアポロニウス

イスラム世界では、アル・ビルーニやオマル・ハイヤームなどの数学者も大きな貢献をしました。アル・ビルーニは正多角形を含む面積と体積を計算する方法を開発し、オマル・ハイヤームは多角形の幾何学に直接影響する三次方程式の分類と解法に取り組みました。

現代では、「数学者の王子」として知られるカール・フリードリヒ・ガウスが、幾何学に大きな影響を与える発見をしました。彼の正多角形定理は、数値 n が 2 のべき乗と任意の個別のフェルマー素数の積である場合、正 n 辺多角形を直定規とコンパスで作成できることを証明しました。

レオンハルト オイラーの有名な定理 V-E+F=2 (V は頂点の数、E は多面体の辺の数、F は多面体の面の数) もまた、異なる幾何学的次元間の関係の理解に貢献し、正多角形とその円との関係の分析に応用できます。

これらは、幾何学的関係についての私たちの理解を形作ってきた多くの数学者のほんの一部です。彼の貢献は現代数学に影響を与え続け、新しい世代の数学者に幾何学の奥深さを探求するよう促しています。

日常生活での応用

外接正多角形とは、その辺が内円に接する正多角形のことです。このユニークな特性により、エンジニアや建築家はこれらの形状を使用してスペースを最適化し、構造内の力の均一な分散を確保し、構造の安定性と安全性を確保することができます。

古代ローマ以来、エンジニアは外接多角形を使用して耐久性のある建物を設計してきました。今日でもこの実践は重要であり、数学的知識の時代を超越した重要性を示しています。これらの概念を理解することは、特にエンジニアリングや建築において、精度と効率が必要な実際的な問題を解決するために非常に重要です。

これらの原理を適用した典型的な例は、円を利用した、辺や 辺心距離 などの正多角形の寸法の計算に見ることができます。これらの寸法は内接円周の半径に応じて決定されるため、複雑な幾何学的形状を持つ橋、塔、建物などの構造物の設計が容易になります。

さらに、多角形の辺と内接円の半径の間の正確な数学的関係は、周囲と面積を正確に計算するための基礎であり、安全で効率的な建物の設計に強力なツールを提供します。たとえば、辺の数が多い多角形は円形に近づく傾向があり、形状の滑らかさが求められるデザインでは有益です。

これらの数学的関係は単なる理論的なものではありません。それらは日常生活に直接的な影響を及ぼします。たとえば、車輪や歯車を設計したり、円形の空間に家具を配置したりする場合には、外接多角形の原理が適用されて最適な結果が得られます。

コンセプト

辺が合同の多角形は等辺、角が合同の場合は等角となります。

等辺四角形 等角四角形

定義: 凸多角形は、すべての辺が一致し (等辺)、すべての角が一致した場合 (等角) に限り、正則です。

正三角形(等辺) 正四角形（正方形）

プロパティ

定理: 円を $n$ に分割すると、$n$ 以上が 3 となり、合同な円弧になります。したがって：

1。連続する 2 つの分割点によって決まるすべての弦を結合すると、$n$ の辺が円に内接する正多角形を形成します。 2。分割点が描く接線により、$n$の辺が円周に外接する正多角形が求められます。

デモ:

ケース 1:

円$\lambda$の$n$分割点を$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$、$N$とする。多角形$ABCD\dots MN$は円に内接します。

このようにして、円弧は合同になります。

$$\stackrel{\frown}{AB} \equiv \stackrel{\frown}{BC}\equiv \stackrel{\frown}{CD} \equiv \stackrel{\frown}{DE} \equiv \dots \equiv \stackrel{\frown}{MN} \equiv \stackrel{\frown}{NA}$$

結果として:

$$\overline{AB} \equiv \overline{BC}\equiv \overline{CD} \equiv \overline{DE} \equiv \dots \equiv \overline{MN} \equiv \overline{NA}$$

実際、同じ円と同様に、合同アークは以前の投稿の合同コードと同じです。

また、角$\hat{A}$、$\hat{B}$、$\hat{C}$、$\hat{D}$、$\dots$、$\hat{M}$、$\hat{N}$は、それぞれ$\lambda$に内接しているため合同です。これらの角度は、円が分割された合同の円弧の $(n-2)$ の半分の大きさであることを覚えておく価値があります。

五角形の場合、次のようになります。

$$\hat{A} = \frac{\stackrel{\frown}{BC}+ \stackrel{\frown}{CD} + \stackrel{\frown}{DE}}{2}$$

$$\hat{B} = \frac{\stackrel{\frown}{CD}+ \stackrel{\frown}{DE} + \stackrel{\frown}{EA}}{2}$$

$$\hat{C} = \frac{\stackrel{\frown}{DE}+ \stackrel{\frown}{EA} + \stackrel{\frown}{AB}}{2}$$

$$\hat{D} = \frac{\stackrel{\frown}{EA}+ \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC}}{2}$$

$$\hat{E} = \frac{\stackrel{\frown}{AB}+ \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD}}{2}$$

多角形の辺の合同と多角形の角度の合同から、多角形 $ABCD\dots MN$ は $n$ の辺と規則的であり、円 $\lambda$ に内接することがわかります。

ケース 2:

点$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$、$N$の分割から、円$\lambda$に接線を引き、多角形$A'$、$B'$、$C'$、$D'$を取得します。円周$\lambda$に外接する$n$辺の$\dots$、$M'$、$N'$。

円の接線から始まる三角形は二等辺三角形です。

三角形 $ALA$ が合同であり、多角形 $ABCD\dots MN$ が正則 (パーツ 1) であり、これらの三角形の辺が一致していることを考慮すると、シンボルでの角度と辺が一致していることがわかります。

$$\hat{A'} \equiv \hat{B'}\equiv \hat{C'} \equiv \hat{D'} \equiv \dots \equiv \hat{M'} \equiv \hat{N'}$$

そして

$$\overline{A' B'} \equiv \overline{B' C'}\equiv \overline{C' D'} \equiv \overline{D' E'} \equiv \dots \equiv \overline{M' N'} \equiv \overline{N' A'}$$

これら 2 つの結果から、多角形 $ABCD\dots MN$ は $n$ の辺を持ち、円 $\lambda$ に内接すると結論付けられます。

$\blacksquare$

内描可能な正多角形

すべての正多角形は円に内接します

または

正多角形が与えられると、その頂点を通過する単一の円が存在します。

デモ:

$\blacksquare$

外接可能な正多角形

すべての正多角形は円に外接することができます

または

正多角形が与えられると、その多角形に内接する円が 1 つあります。

デモ:

$\blacksquare$

考慮事項

数学は私たちの周囲の世界を理解することを可能にする世界共通言語であり、正多角形と円の関係は、単純な原理がどのようにして深遠な発見と広大な応用につながる可能性があるかを示す完璧な例です。学生でも専門家でも、あるいは単に幾何学に興味がある人でも、この興味深いトピックについて学ぶことは常に新しくて興味深いことです。こちらは『正多角形の円周率、次の投稿をお待ちください』に少しだけ貢献させていただきました。