微積分以前、接線と面積は関係のない二つの問題だった。曲線の接線を見つけるのは一つの技であり、その下の面積を見つけるのは別の技だった。17 世紀の大発見は、アイザック・バロー、ニュートン、ライプニッツによる、一方が他方の逆であるという発見だった。これが微積分の基本定理であり、ライプニッツの記法はそれをほとんど当たり前のように書く。

ライプニッツ：和と差のように

ライプニッツは $\int$ を和、$d$ を差と考えた。差を足し合わせると差が打ち消される。階段の段差を足せば全体の高さになるのと同じである。彼は、$\int$ と $d$ は「ふつうの計算でのべきと根のように」互いに逆であると書いた。記号では

$$d\!\int y\,dx=y\,dx,\qquad\int dy=y.$$

$d$ と $\int$ は、$+3$ と $-3$ のように「打ち消し合う」。最も強い意味での能動的な記法である。微積分で最も重要な定理が、式を簡単にする規則として現れるのだ。

現代の書き方での二つの半分

今日、この定理は二つの部分に分けて書かれる。

第一部：面積を微分する。 $A(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ を $a$ から $x$ までに積み重なった面積とすると、

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

面積が増える速さは、今いる点での曲線の高さである。積分のなかの文字が $x$ ではなく $t$ であることに注意しよう。$x$ はすでに上端として使われている。$\int_a^x f(x)\,dx$ と書けば、第3章の変数の捕獲という誤りになる。

第二部：導関数を積分する。 $F'=f$ なら

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b.$$

上端と下端のついた括弧は、つなぎの記法である。数を代入するまでのあいだ $F$ を保っておく。これを使えば、前の文章で無限に多くの長方形を必要とした面積が、一行で出てくる。

$$\int_0^2x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac83-0=\frac83.$$

記法が隠しているもの

$d$ と $\int$ の打ち消し合いは完全ではない。不定積分では

$$\int\frac{dF}{dx}\,dx=F(x)+C$$

となり、打ち消し合いが予告しない定数 $C$ が現れる。微分は定数を消してしまい、積分はどの定数を返せばよいかを知らない。$+C$ を忘れるのは微積分の授業で最もよくある誤りであり、その源は記号論的である。記法は完全な逆を示唆しているのに、実際には定数の違いを除いた逆しかないのである。

練習：上端が動く面積を微分する

$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ を計算せよ。

$A(u)=\int_0^u\cos t\,dt$ とおくと、$A'(u)=\cos u$。式は $A(x^2)$ なので、連鎖律により導関数は $A'(x^2)\cdot2x=2x\cos(x^2)$。第二部で確かめると、$\int_0^{x^2}\cos t\,dt=\sin(x^2)$ で、その導関数は $2x\cos(x^2)$ である。

練習：+C の働き

二人が $2\sin x\cos x$ を積分した。一人は $\sin^2x$、もう一人は $-\cos^2x$ を得た。まちがっているのはどちらか。

どちらでもない。$\sin^2x-(-\cos^2x)=\sin^2x+\cos^2x=1$ で、二つの答えは定数だけ異なり、どちらも正しい原始関数である。三人めが $-\frac12\cos2x$ を得ても、ほかの二つと定数だけ違うにすぎない。$+C$ はそのためにある。

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