Euler's Eyes
2026-10-12
メトリックの関係
斜辺の二乗は脚の二乗の和です。しかし、これは直角三角形の中で高さによって明らかになるいくつかの関係のうちの 1 つにすぎません。
発見者
直角三角形の辺間の関係は、直角三角形よりもはるかに古いものです。 サモス島のピタゴラス （紀元前6世紀）。取締役会 バビロン 紀元前 1800 年頃からは、3、4、5 などの用語を使用し、正方形の対角線を計算します。あなた スルバ・スートラ からの インド （紀元前 800 ～ 500 年頃）祭壇を築くための規則が述べられています。そして中国語のテキスト 周美蘇京 視覚的な証拠を提供します。ギリシャの伝統ではこの定理はピタゴラスと関連付けられていましたが、ピタゴラスがそれを実証したという文書による証拠はありません。私たちに伝わる最も古いデモは、 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題 I.47 定理を面積によって証明し、 I.48 を証明する 相互。ピッチとの関係 — 各脚とピッチとして 比例平均 — 提案の中にあります VI.8 そしてその結果。
歴史
この章の証明は、第 VI 巻のユークリッドの証明です。高さは三角形を元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割し、比率は計量関係を示します。それらを 2 つ足すとピタゴラスの定理が得られます。数学における記述は、これほど多くの方法で証明されているものはほとんどありません。アメリカの教授エリシャ ルーミスは、1940 版の本のピタゴラス命題の中で、370 のさまざまな実証をまとめました。その中には、将来のアメリカ合衆国大統領ジェームズ ガーフィールドによるものもあります。 1876、空中ブランコで作りました。
この定理は無理数への扉でもあります。辺が 1 の正方形の対角線は $\sqrt{2}$ を測定し、この数が分数ではないという発見はピタゴラス学派に衝撃を与えました。
日常生活での応用
- 作業正方形。 2 つの壁が直角を形成しているかどうかを確認するために、煉瓦職人は一方の壁に 3 m、もう一方に 4 m の印を付け、対角線の長さが定理の逆数である 5 m であるかどうかを確認します。
- 画面 テレビの「インチ」は対角線です。16 x 9 単位の画面には対角線の $\sqrt{16^2 + 9^2} \approx 18{,}4$ 単位があります。
- 地図と GPS。 格子状の地図上の 2 点間の直線距離は、ピタゴラスの定理によって計算されます。
- 階段とスロープ。 スロープの長さは、乗り越える高さと利用可能な水平距離によって異なります。
出典: ピタゴラス (MacTutor) · 要素、命題 I.47 · 要素、命題 VI.8 · バビロンのピタゴラス（マックチューター）。
理論と作図
要素
定義直角三角形の要素
三角形 $ABC$、長方形 $A$ では、$\overline{AD}$ を $\overline{BC}$ に垂直に駆動し、$D$ を $\overline{BC}$ に配置します。
| セグメント | 測定 | 名前 |
|---|---|---|
| $\overline{BC}$ | $a$ | 斜辺 |
| $\overline{AC}$ | $b$ | カテト |
| $\overline{AB}$ | $c$ | カテト |
| $\overline{BD}$ | $m$ | 脚 $c$ の斜辺への投影 |
| $\overline{CD}$ | $n$ | 脚 $b$ の斜辺への投影 |
| $\overline{AD}$ | $h$ | 斜辺に対する高さ |
単純化するために、セグメントとそのメジャーを混同します。つまり、「$a$ は斜辺のメジャー」ではなく、「$a$ は斜辺のメジャー」と言います。
類似点
定理高さは三角形を相似な三角形に分割します
斜辺に対する高さ $\overline{AD}$ により、三角形 $ABC$ と同様の 2 つの直角三角形 $DBA$ と $DAC$ が決まります。
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA \sim \triangle DAC.$$デモを見る
$\hat 1 = B\hat AD$と$\hat 2 = D\hat AC$とする。 $\hat B$ と $\hat 1$ は両方とも $\hat 2$ の補数であるため (三角形 $ABD$ と $ABC$ 内)、$\hat B \equiv \hat 1$ が得られます。同様に$\hat C \equiv \hat 2$。三角形の各ペアには 1 つの直角と 1 つの合同角があります。 AA の場合、3 つの三角形は相似です。
メトリックの関係
3 つの類似点のうち、相同な側面間の比率を書くと次のようになります。
$$\triangle ABC \sim \triangle DBA:\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \;\Rightarrow\; c^2 = a\,m \quad\text{e}\quad b\,c = a\,h$$$$\triangle ABC \sim \triangle DAC:\quad \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \;\Rightarrow\; b^2 = a\,n \quad\text{e}\quad b\,h = c\,n$$$$\triangle DBA \sim \triangle DAC:\quad \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h} \;\Rightarrow\; h^2 = m\,n \quad\text{e}\quad c\,h = b\,m$$まとめ直角三角形の計量関係
| (1) $b^2 = a \cdot n$ | (4) $b \cdot c = a \cdot h$ |
| (2) $c^2 = a \cdot m$ | (5) $b \cdot h = c \cdot n$ |
| (3) $h^2 = m \cdot n$ | (6) $c \cdot h = b \cdot m$ |
比例平均 セグメント$x$は、$\dfrac{r}{x} = \dfrac{x}{s}$、つまり$x^2 = r \cdot s$または$x = \sqrt{r \cdot s}$のときの$r$と$s$の比例平均（または幾何平均）です。この言語を使用すると:
性質関係ステートメント
任意の直角三角形では、次のようになります。
- 各脚は、斜辺への投影と斜辺の比例平均です: $b^2 = a\,n$ と $c^2 = a\,m$。
- 斜辺に対する高さは、斜辺で求めたセグメント間の比例平均です: $h^2 = m\,n$。
- 脚の積は斜辺とそれに対する高さの積に等しい: $b\,c = a\,h$;
- 斜辺に対する高さの一方の辺の積は、斜辺上の最初の辺の投影によるもう一方の辺の積、$b\,h = c\,n$ と $c\,h = b\,m$ に等しくなります。
ピタゴラスの定理
定理ピタゴラスの定理
脚の二乗の合計は斜辺の二乗に等しくなります。
$$b^2 + c^2 = a^2.$$デモを見る
メンバーをメンバーにリレーション (1) と (2) に追加します。
$$b^2 + c^2 = a\,n + a\,m = a\,(m + n) = a \cdot a = a^2.$$注意観察
1è) 最初の 3 つの関係 $b^2 = a\,n$、$c^2 = a\,m$、および $h^2 = m\,n$ が最も重要です。他のすべての関係はこれらに続きます。たとえば、(1) と (2) を乗算し、(3) を使用すると、$b^2c^2 = a^2 m n = a^2 h^2$、つまり $b\,c = a\,h$ になります。
2è) 直角三角形では、脚の二乗の逆数の合計は、斜辺を基準とした高さの逆二乗に等しくなります。
$$\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}.$$まさに$\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{c^2 + b^2}{b^2c^2} = \dfrac{a^2}{a^2h^2} = \dfrac{1}{h^2}$。
ピタゴラスの定理の逆
定理ピタゴラスの定理の逆
三角形の 1 辺の正方形が他の 2 辺の正方形の和に等しい場合、その三角形は長方形になります。
$$\triangle ABC \text{ com } a^2 = b^2 + c^2 \;\Longrightarrow\; \triangle ABC \text{ é retângulo em } A.$$デモを見る
$\overline{MN} \equiv \overline{AB}$ と $\overline{MP} \equiv \overline{AC}$ の脚を持つ三角形 $MNP$、長方形 $M$ を構築します。 $MNP$、$m^2 = n^2 + p^2 = b^2 + c^2 = a^2$ のピタゴラスの定理により、$m = a$ になります。 LLL の場合は、$\triangle ABC \equiv \triangle MNP$ となり、$M$ では $MNP$ が長方形となるため、三角形 $ABC$ は $A$ では長方形になります。
性質斜辺に対する中央値
斜辺に対する中央値は、斜辺の半分を測定します。したがって、斜辺の中点は、 直角三角形に外接する円の中心になります、つまり斜辺は直径（章11の半円に内接する角度です）になります。