三角形と円

三角形は、幾何学の研究において最も頻繁に議論される幾何学図形の 1 つです。円との関係は、さまざまなジオメトリの結果を理解するための基礎です。これらの結果の一部は、三角形の注目点と呼ばれます。

三角形の相似性

プロポーションの投稿では、三角形の相似性の概念について説明しました。ここでは、三角形の相似性が円によって証明できることを示します。

補題 1: AB と CD を、円内の点 P で交差する円の異なる弦とします。それから
$$\dfrac{AP}{CP} = \dfrac{PD}{PB} $$

補題 2: 頂点角 P の 2 つの辺が点 A と点 B で中心 O の円に接する場合、$PA = PB.$

補題 3: 円 C の外側の点を P、点 B と C で P 割線を通り C に向かう直線、s を A での C の接線とします。
$$\dfrac{PB}{PA}=\dfrac{PA}{PC}$$

補題 4: P を円 C の外側の点、r を点 A と B で P を通り C に割る直線、s を点 C と D で C に割る直線とします。
$$\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{PD}{PB}$$

三角形の注目すべき点の性質は、多くの場合、円周に関連しています。これらの点を説明する前に、幾何学の基本的な用語をいくつか定義しましょう。

定義 (垂直二等分線): 2 つの異なる点 A と B から等距離にある点の幾何学的軌跡です。

定理 1: 三角形の 3 つの垂直二等分線辺は、頂点から等距離 (同じ距離) の点で交わるので、この点は 3 つの頂点を含む円の中心になります。

定義 (外心): これは、垂直二等分線間の接続点です。

定理 2: 任意の三角形の角の二等分線は、辺から等距離にある内部の点で交わります。この点を中心とし、この共通距離を半径とする円は側面に接します。

定義 (内心): これは、角の二等分線間の接続点です。

定理 3: 三角形の（直線の）高さは点で交わります。

定義 (垂心): それは高さの合流点です。

定理 4: 三角形の中線は、頂点までの距離が対応する中央値の測定値の 2/3 に等しい点で交わります。

定義 (重心): 三角形が与えられた場合、その中央値が交わる点は重心または重心と呼ばれます。

定理 5 (オイラーの直線): どの三角形でも、外心、垂心、重心は同一線上にあります。

これらは三角形と円上の点です。次の投稿をお待ちください。