Euler's Eyes
2026-10-14
調和級数と助けを求める声
無限の級数が有限の和に収められ、限りないもののなかに限りが見てとれるように、果てしなさの魂は微小なもののなかに宿り、最も狭い限界のなかに限界はない。
— ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689）
1689 年から 1704 年にかけて、ヤコブ・ベルヌーイはバーゼルで 無限級数、つまり無限に多くの項をもつ和についての論文を五編発表しました。新しく、危険な主題でした。こうした和のなかには、
$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2$$のように、ある数になるものがあります。止まらずに増え続けるものもあります。むずかしいのは、それぞれがどちらなのかを見分けることです。常識はあてにならないからです。
調和級数
整数の逆数の和を考えましょう。
$$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音楽家はこれを 調和 級数と呼びました。$\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ は、ある音の倍音を出す弦の長さだからです。項はどんどん小さくなり、0 に近づきます。直観では、和はどこかで止まりそうです。ところがこの和は、だまされるほどゆっくり増えます。
| 項の数 | 和の近似値 |
|---|---|
| 10 | 2.93 |
| 1 000 | 7.49 |
| 1 000 000 | 14.39 |
| $10^{43}$ | 100.0 |
100 に達するには $10^{43}$ 項以上が必要です。それでもヤコブは、この和が どんな 数をも超えることを示しました。
ヤコブの証明
彼は級数を、平方数で終わるかたまりに分けました。ある数 $a$ をとり、$\frac1a$ から $\frac1{a^2}$ までの項を考えます。$\frac1a$ をわきに置くと $a^2-a$ 個の項が残り、どれも最小の項 $\frac1{a^2}$ 以上です。したがって
$$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$このようなかたまりは、どれも 1 以上です。あとはつなげていくだけです。$\frac12$ から $\frac14$ まで、$\frac15$ から $\frac1{25}$ まで、$\frac1{26}$ から $\frac1{676}$ まで、というふうに。
$$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$かたまりは無限にあり、どれも 1 以上なので、和はどんな数をも超えます。和は 発散 します。
ヤコブは、弟ヨハンが自分より先に別の証明を見つけていたことを認め、同じ論文にそれを載せました。二人とも、フランスのニコル・オレームが 1350 年ごろ、項を 1、2、4、8……個ずつのまとまりに分けて同じことをしていたとは知りませんでした。
平方数：2 より小さい
分母が平方数だったらどうでしょう。
$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\frac1{25}+\cdots$$ここでヤコブは逆のことを示しました。この和は 2 を 超えない のです。こつは、各項を差と比べることです。$n\geq2$ のとき、
$$\frac1{n^2}<\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1n.$$$n=2$ から $n=N$ まで足すと、ほとんどすべてが打ち消しあいます。
$$\begin{aligned}\sum_{n=2}^{N}\frac1{n^2}&<\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1{N-1}-\frac1N\right)\\&=1-\frac1N<1.\end{aligned}$$最初の項を加えると、$1+\frac14+\frac19+\cdots<2$ です。この和は増えていくけれど 2 を超えない数列なので、ある数に行きつきます。どんな数に？ ヤコブにはわかりませんでした。
助けを求める声
ヤコブはこの議論を、ヨーロッパの数学者たちへのラテン語の公開の呼びかけで締めくくりました。
これまで私たちの努力をすり抜けてきたものを見つけ、知らせてくれる人がいれば、私たちは大いに感謝するだろう。
— ヤコブ・ベルヌーイ『無限級数論』（1689）
彼の存命中に解けた人はいませんでした。この問いは、ベルヌーイ家の町の名をとって バーゼル問題 と呼ばれるようになります。ヨハンも挑み、失敗しました。1735 年、ヨハンのかつての弟子 レオンハルト・オイラー が答えを見つけました。
$$1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots=\frac{\pi^2}6\approx1.6449.$$それを知ったヨハンは、兄が生きてこれを見られなかったことを嘆きました。
練習問題：調和級数で 3 を超えるには何項必要か？
部分和は $1$、$1.5$、$1.833$、$2.083$、$2.283$、$2.45$、$2.593$、$2.718$、$2.829$、$2.929$、$3.020$ です。11 項必要です：$1+\frac12+\cdots+\frac1{11}\approx3.02$。
練習問題：同じ考え方で、1/1·2 + 1/2·3 + 1/3·4 + ... がちょうど 1 になることを示せ。
$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}$ なので、第 $N$ 項までの和は
$$\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\cdots+\left(\frac1N-\frac1{N+1}\right)=1-\frac1{N+1}.$$$N$ が大きくなると $\frac1{N+1}$ は 0 に近づき、和は $1$ に近づきます。このように両端以外がすべて打ち消しあう和を 望遠鏡和（テレスコーピング）といいます。
出典： Jakob Bernoulli、Tractatus de seriebus infinitis（バーゼル、1689–1704。『推測術』の巻末に収録、1713）· William Dunham、『数学の知性』第 8 章 · ヤコブ・ベルヌーイの伝記、MacTutor。