Euler's Eyes
2026-10-15
計算尺：すべる対数
対数表を使うには、まだ数を探し、足し、もう一度探さなければなりません。ネイピアから数年後、イギリス人たちは、対数を定規の上に置き、足し算を手で行えることに気づきました。
ガンターの目盛り
1620 年、ブリッグスのグレシャム・カレッジの同僚だった天文学者エドマンド・ガンターは、各数 $x$ が 1 の目盛りから $\log x$ に比例する距離にある定規を描きました。
$$x\text{ の位置}=L\cdot\log x.$$1 は始まりに、10 は終わりにあり、2 は全長の $0.301$、3 は $0.477$、5 は $0.699$ のところにあります。数は右へ行くほど詰まっていきます。かけ算をするには、ディバイダーを 1 から $a$ まで開き、その開きを $b$ から移します。距離が足されるので、先端は $a\times b$ に来ます。
$$L\log a+L\log b=L\log(ab).$$オートレッドの二本の尺
1622 年ごろ、牧師で数学者のウィリアム・オートレッドはディバイダーを不要にしました。同じ目盛りを二本並べ、一方を他方の上ですべらせるのです。$2\times3.5$ を計算するには、下の尺の 1 を上の尺の 2 の下に合わせ、下の尺の 3.5 の上にある上の尺の数を読みます。7 です。これが最初の計算尺でした。
割り算は同じ計算を逆にするだけです。$8\div2.5$ なら、下の尺の 2.5 を上の尺の 8 の下に合わせ、下の尺の 1 の上を読むと 3.2。計算尺は小数点の位置を教えてくれません。答えが 3.2 なのか 32 なのか 0.32 なのかは、計算する人が知っていなければなりません。ブリッグスの対数の指標とまったく同じです。
三百五十年
計算尺には、平方、平方根、正弦、対数の目盛りが加わり、正確に読むための細い線の入ったガラスのカーソルがつきました。正しい桁は三桁で、ほとんどすべての工学にはそれで十分でした。橋も、飛行機も、発電所も、ロケットも、計算尺で設計されました。アポロ計画の技術者たちは計算尺を使い、宇宙船にも一本積まれていました。計算尺は、1972 年に関数電卓が登場すると、数年のうちに姿を消しました。
練習問題：25 cm の計算尺で、2、4、8 は 1 の目盛りから何 cm のところにあるか。
位置は $25\log x$ です。2 は $25\times0.301\approx7.5$ cm、4 は $25\times0.602\approx15.1$ cm、8 は $25\times0.903\approx22.6$ cm。1 から 2、2 から 4、4 から 8 までの距離は等しい。2 倍することは、いつも同じ長さだけ進むことなのです。
練習問題：同じ目盛りが二本ある計算尺で、4.5² と √20 はどう計算するか。
$4.5^2$ は 4.5 に 4.5 をかけることです。一桁分しかない尺では、下の 1 を上の 4.5 に合わせると読み取りが尺の外に出てしまうので、下の 10 を上の 4.5 に合わせ、下の 4.5 の上を読みます。2.025 です。$4.5^2$ は 16 と 25 のあいだにあるので、答えは 20.25。$\sqrt{20}$ は、自分自身の下に置くと 20 になる数 $x$ を探すことになりますが、現代の計算尺にある平方の目盛りを使うほうが実用的で、$\sqrt{20}\approx4.47$ と読めます。
出典： Edmund Gunter、Description and Use of the Sector, the Crosse-staffe and other Instruments（1623）· William Oughtred、The Circles of Proportion and the Horizontall Instrument（1632）· Florian Cajori、A History of the Logarithmic Slide Rule（1909）。