演習と解決策

224

以下の場合の$x$の値を求めます。

x に依存する角度を持つ 2 つの四角形。
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a) $x = 120^{\circ}$ b) $x = 75^{\circ}$

225

次の場合の四角形 $ABCD$ の角度を決定します。

x の関数として角度を持つ 2 つの四角形 ABCD。
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a) $130^{\circ}$、$70^{\circ}$、$95^{\circ}$、$65^{\circ}$ b) $55^{\circ}$、$105^{\circ}$、$70^{\circ}$、$130^{\circ}$

226

次の場合の $x$ の値を決定します。 a) $PA = PB$; b) $AB = AD$ および $CB = CD$。

角度と辺が一致する 2 つの四角形。
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a) $x = 35^{\circ}$ b) $x = 70^{\circ}$

227

$\overline{AP}$と$\overline{BP}$が角の二等分線の場合、次の場合に$x$を求めます。

角の二等分線 AP と BP の 2 つの四角形。
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a) $x = 70^{\circ}$ b) $x = 100^{\circ}$

228

$\overline{AP}$ と $\overline{BP}$ が 角の二等分線 の場合、以下を決定します。 a) $\hat{C} + \hat{D}$; b) $\hat{C}$。$\hat{D}$ を $10^{\circ}$ だけ上回ります。

AとBの角の二等分線を持つ2つの四角形がPで交わります。
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a) $\hat{C} + \hat{D} = 220^{\circ}$ b) $\hat{C} = 125^{\circ}$

229

$\overline{BP}$、$\overline{AP}$、$\overline{CQ}$、$\overline{DQ}$が角の二等分線の場合、$x + y$を求めます。

PとQで角の二等分線が出会う四角形ABCD。
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$x + y = 180^{\circ}$

230

$ABCD$が底辺$\overline{AB}$と$\overline{CD}$の台形の場合、$x$と$y$を求めます。

x と y に応じた角度を持つ 2 つの台形。
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a) $x = 80^{\circ}$、$y = 105^{\circ}$・b) $x = 125^{\circ}$、$y = 70^{\circ}$

231

$ABCD$ は底面 $\overline{AB}$ と $\overline{CD}$ の台形です。 $\overline{DP}$と$\overline{CP}$が角の二等分線であれば、$x$と$B\hat{C}D$を求めます。

角の二等分線 DP と CP のトラペジウス。
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$x = 140^{\circ}$ および $B\hat{C}D = 40^{\circ}$

232

台形$ABCD$が底辺二等辺$\overline{AB}$と$\overline{CD}$の場合、$\hat{A}$を求めます。

角度 2x − 15° および x + 25° の等脚台形。
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$\hat{A} = 115^{\circ}$

233

$ABCD$が$\hat{A} = 2x$と$\hat{C} = x + 70^{\circ}$で平行四辺形の場合、$\hat{B}$を求めます。

角度 2x および x + 70° の平行四辺形。
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$\hat{B} = 40^{\circ}$

234

$ABCD$は平行四辺形なので、$\overline{AP}$角の二等分線、$AB = 7$cm、$PC = 3$cmで、平行四辺形の周囲長を求めます。

角の二等分線 AP の平行四辺形。
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34cm

235

$ABCD$ が平行四辺形の場合、$AD = 20$ cm、$BQ = 12$ cm、$BP = BQ$ は、この平行四辺形の周囲長を求めます。

三角形 BPQ の平行四辺形。
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56cm

演習 236 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. すべての長方形は平行四辺形です。
  2. すべての平行四辺形は長方形です。
  3. すべての正方形は長方形です。
  4. すべての長方形は正方形です。
  5. すべての平行四辺形はひし形です。
  6. すべての正方形はひし形です。

演習 237 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 合同な 2 つの辺を持つすべての長方形は正方形です。
  2. 隣接する 2 つの合同な辺を持つ平行四辺形は菱形です。
  3. 平行四辺形の頂点角が 2 つ連続して一致する場合、それは長方形になります。
  4. 四角形の向かい合う 2 つの角が合同であれば、それは平行四辺形になります。

演習 238 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. 四角形の 2 つの辺が合同であれば、それは平行四辺形になります。
  2. 四角形の向かい合う 2 つの辺が合同であれば、それは平行四辺形になります。
  3. 四角形の向かい合う 2 つの辺が合同で平行であれば、それは平行四辺形になります。

演習 239 — true (V) または false (F) として分類します。

  1. ひし形の対角線は合同です。
  2. 長方形の対角線は垂直です。
  3. 長方形の対角線は、その角度の 角の二等分線 です。
  4. 平行四辺形の対角線は、その角度の 角の二等分線 です。
  5. 正方形の対角線はその角度の 角の二等分線 であり、垂直です。
  6. 四角形の対角線がその角度の 角の二等分線 である場合、それはひし形です。
  7. 四角形の対角線が垂直の場合、それらの角度は 角の二等分線 になります。
  8. 四角形の対角線が合同で垂直であれば、それは正方形です。
  9. 四角形の対角線が 角の二等分線 で合同であれば、それは正方形です。
  10. 四角形の一方の対角線が両方の角の 角の二等分線 である場合、その対角線はもう一方の対角線に垂直になります。
240

底辺が高さを 4 cm 超えることがわかっているので、周囲が 40 cm である長方形の辺を計算します。

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12 cm および 8 cm

241

周囲が 288 m で、底辺が高さの 3 倍を 4 m 超えることがわかっているので、長方形の底辺と高さを決定します。

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底辺 109 m、高さ 35 m。

242

平行四辺形の辺を計算します。その周囲の長さは 84 m であり、短い辺の合計は長い辺の合計の $\dfrac{2}{5}$ を表すことがわかります。

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30mと12m

243

平行四辺形の向かい合う 2 つの角の合計は、他の 2 つの向かい合う角の合計の $\dfrac{5}{13}$ に等しくなります。それらを決定してください。

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$50^{\circ}$、$130^{\circ}$、$50^{\circ}$、$130^{\circ}$

244

連続する 2 つの平行四辺形の差がそれらの角度の合計の $\dfrac{1}{9}$ に等しいことを知って、平行四辺形の角度の尺度を決定します。

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$70^{\circ}$、$110^{\circ}$、$70^{\circ}$、$110^{\circ}$

245

平行四辺形の連続する2つの角の角の二等分線が直角に切れることを証明してください。

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連続する 2 つの角度の合計は $180^{\circ}$ になります。その半分を合計すると $90^{\circ}$ になり、角の二等分線 によって形成される三角形の 3 番目の角は $90^{\circ}$ になります。 (補角が 2 つある三角形は直角です。)

246

長方形台形では、直角の角の二等分線は台形の鋭角の角の二等分線と角度$110^{\circ}$を形成します。台形の最大角度を決定します。

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$130^{\circ}$

247

ひし形の対角線は、その辺の 1 つが直線の 3 分の 1 に等しい角度を形成します。ひし形の 4 つの角度を決定します。

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$60^{\circ}$、$120^{\circ}$、$60^{\circ}$、$120^{\circ}$

248

ひし形の鈍角の角の二等分線は、一方の辺の角度が$55^{\circ}$になります。鋭角の値を決定します。

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$70^{\circ}$

249

二等辺台形の最大の底辺は 12 cm、最小の底辺は 8 cm です。周囲が 40 cm であることを知って、平行でない辺の長さを計算します。

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10cm

250

二等辺台形の内角の 1 つは、隣接する外角の $\dfrac{2}{7}$ です。台形の 4 つの角度を決定します。

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$40^{\circ}$、$40^{\circ}$、$140^{\circ}$、$140^{\circ}$

251

台形の連続する 2 つの角度の合計は $78^{\circ}$ に等しく、その差は $4^{\circ}$ です。台形の最大角度を決定します。

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$143^{\circ}$

252

2 つの連続する鋭角が $80^{\circ}$ と $60^{\circ}$ である台形の内部 角の二等分線 によって形成される角度の寸法を決定します。

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$70^{\circ}$、$110^{\circ}$、$90^{\circ}$、$90^{\circ}$、$160^{\circ}$、$160^{\circ}$

253

長さ 36 m のワイヤーを使用して 正三角形 を作成し、同じワイヤーを使用して正方形を作成します。三角形の辺と正方形の辺の比率を求めます。

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$\dfrac{4}{3}$

254

$ABCD$が正方形、$ABP$が正三角形の場合、次の場合に$x$を求めます。

正三角形 の内部および外部 ABP を備えた四角い ABCD。
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a) $x = 75^{\circ}$ b) $x = 15^{\circ}$

255

「等しいマーク」が付いたセグメントが合同であるとみなして、次の場合の未知数の値を決定します。

中点セグメントを含む三角形と、x と y の関数としての測定値。
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a) $x = 5$・b) $x = 6$および$y = \dfrac{19}{2}$

256

辺$AB = 9$、$BC = 14$、$AC = 11$を持つ三角形$ABC$において、点$D$、$E$、$F$はそれぞれ$\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{BC}$の中点です。三角形$DEF$の周囲長を計算します。

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17

257

$MN = 7$ cm、$NR = 4$ cm、および $MR = 8$ cm、およびそれぞれ $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、および $\overline{BC}$ の辺の中点 $M$、$N$、$R$ を使用して、三角形 $ABC$ の周囲長を計算します。

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38cm

258

任意の四角形の辺の中点が平行四辺形の頂点であることを証明してください。

この本の解像度を参照してください

$ABCD$ を四角形とし、$M$、$N$、$P$、$Q$ を $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$、$\overline{DA}$ の中点とします。平均ベースで:

$$\triangle ABC:\ \overline{MN} \parallel \overline{AC},\ MN = \frac{AC}{2} \qquad \triangle DAC:\ \overline{PQ} \parallel \overline{AC},\ PQ = \frac{AC}{2}.$$

したがって、$\overline{MN} \parallel \overline{PQ}$ と $MN = PQ$: $MNPQ$ は平行四辺形です。

演習 258 ～ 260: 中点 (金色) を持つ四角形は常に平行四辺形です。破線の対角線に応じてひし形、長方形、正方形になります。
259

凸四角形の辺の中点が菱形の頂点となるためには、その対角線がどのような条件を満たさなければなりませんか?そして長方形？

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ひし形: 合同な対角線。長方形: 垂直な対角線。

260

凸四角形の辺の中点が正方形の頂点となるためには、その対角線がどのような条件を満たさなければなりませんか?

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合同で垂直です。

261

$ABCD$ を大きい底辺 $\overline{AB}$ と小さい底辺 $\overline{CD}$ を持つ台形とし、$M$ を辺 $\overline{AD}$ の中点、$N$ を $\overline{BC}$ の中点とします。点$P$と$Q$は、$\overline{MN}$と対角線$\overline{AC}$と$\overline{BD}$の交点です。 $AB = a$ と $CD = b$ が与えられた場合、$MN$、$MP$、$MQ$、$NP$、$NQ$、および $PQ$ を計算します。

この本の解像度を参照してください

$\overline{MN}$ は台形の中央の底辺なので、底辺と平行になります。したがって、$P$ と $Q$ は $\overline{AC}$ と $\overline{BD}$ の中点です。平均的な三角形と台形の底辺を使用すると、次のようになります。

$$MN = \frac{a + b}{2};\quad MP = \frac{b}{2};\quad MQ = \frac{a}{2};\quad NP = \frac{a}{2};\quad NQ = \frac{b}{2};\quad PQ = MQ - MP = \frac{a - b}{2}.$$
262

台形の平均底辺は20cmで、最大の底辺は最小の底辺の$\dfrac{3}{2}$cmとなります。拠点を決めます。

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16 cm および 24 cm

263

台形の場合、底辺は$AB = 20$cm、$CD = 12$cmとなります。対角線 $\overline{AC}$ と $\overline{BD}$ の中点 $P$ と $Q$ を考えてから、辺 $\overline{BC}$ と $\overline{AD}$ の中点 $R$ と $S$ を考えます。セグメント$PR$、$RQ$、$RS$を計算します。

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$PR = 10$cm、$RQ = 6$cm、$RS = 16$cm

264

「等しいマーク」が付いたセグメントが合同であることを考慮して、次の場合の未知数の値を決定します。

中底の 4 つの台形で、x、y、z の関数として測定されます。
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a) $x = 4$ b) $x = 3$、$y = 4$ c) $x = 10$、$y = 13$、$z = 19$ d) $x = 20$、$y = 6$

265

鋭角が$45^{\circ}$の直方台形では、高さは底辺の差に等しくなります。

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角度が $45^{\circ}$ の直角三角形は二等辺三角形です。小さい方の底辺の頂点を通る高さを描きます。

266

$30^{\circ}$の鋭角を持つ直方体台形の高さは、底辺に垂直でない辺の半分に等しいことを証明してください。

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$30^{\circ}$ の角度の反対側は斜辺の半分です (正三角形 を使用します)。

267

平行四辺形の鈍角の角の二等分線が平行であることを証明してください。

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彼らが決めた平行四辺形を使用します。

268

長方形の対角線がなす角の角の二等分線が長方形の辺と平行であることを証明してください。

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隣接角度と補助角度を使用します。

269

二等辺台形 $ABCD$ では、小さい方の底辺 $\overline{AB}$ が非平行な辺と一致します。台形の角$\hat{C}$と$\hat{D}$の対角線が角の二等分線であることを証明してください。

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二等辺三角形を使用してください。

270

平行四辺形 $ABCD$ に、その対角線 $\overline{AC}$ を描きます。頂点 $B$ と $D$ を通して、対角線 $\overline{AC}$ に垂直な 2 つの線分 $\overline{BP}$ と $\overline{DQ}$ を描きます。$\overline{AC}$ には $P$ と $Q$ が含まれます。 $\overline{BP}$ が $\overline{DQ}$ と合同であることを証明してください。

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LAAₒを使用します。

271

二等辺三角形 $ABC$ の底辺 $\overline{BC}$ の中点 $M$ を通り、三角形の辺 $\overline{AB}$ と $\overline{AC}$ にそれぞれ平行な線分 $\overline{MP}$ と $\overline{MQ}$ を描きます。 $APMQ$がひし形であることを証明してください。

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三角形の真ん中の底辺を使います。

272

2 つの直角の対角を持つ凸四角形を考えてみましょう。四角形の他の 2 つの内角の 角の二等分線 が互いに平行な光線であることを証明します。

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三角形、四角形、および対応する角度の合計を使用します。

273

図中、$ABCD$は正方形、$BC + CE = AE$は正方形です。 $F$は$\overline{DC}$の中点なので、$B\hat{A}E = 2F\hat{A}D$であることを証明します。

DC側に点FとEがある正方形ABCD。
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$E$ を $\overline{BC}$ の中点と結合し、$\overleftrightarrow{AB}$ が見つかるまで延長し、合同を使用します。