Euler's Eyes
2026-10-11
ポイントパワー
円内で交差する 2 つのコード。一方の部分の積は他方の部分の積に等しい。この考え方により、地平線までの距離を計算することができます。
発見者
2 つの古典的な形式は次のとおりです。 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題III.35、切れたロープの上で、 III.36、同じ外部点から引かれた割線と接線上にあります。名前 ポイントの力 ずっと後の1826年にスイス人によって作られました。 ジェイコブ・シュタイナー、点によって描かれた直線が何であれ、製品は常に同じであることに気づきました。
歴史
シュタイナーは、19 世紀の合成幾何学の偉大な名前の 1 人でした。農民の息子である彼は、14 歳になって初めて文字を学び、最終的にはベルリン大学の教授になりました。彼にとって、点の力は、ユークリッドの定理のいくつかを 1 つのアイデアにまとめる方法でした。
この概念は他の概念にもつながります。2 つの円の根軸は、両方に関して同じ力を持つ点の場所であり、接線の問題で今日まで使用されているツールです。
日常生活での応用
- 地平線からの距離。 海の上 $h$ の高さから、地平線への接線は $d$、$d^2 = h(2R + h)$ になります。$R$ は地球の半径です (III.36)。高度 1,7 m では、地平線は約 4,7 km 離れています。
- 弓の半径 弦$c$と矢$s$(弓の高さ)を計測すると半径は$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$となります。修復家は古いアーチや窓を再構築するためにそれを使用します。
- 道路のカーブ。 測量士は、アスファルト上で測定された弦と矢印を使用して、同様の方法でカーブの半径を計算します。
- レンズとミラー。 レンズの曲率半径は、直径が既知の部分の深さを測定することで得られます。
出典: 要素、命題 III.35 · 要素、命題 III.36 · シュタイナー (MacTutor)。
理論と作図
$A$、$B$、$C$、$D$では、点$P$を通り円$\lambda$を通る2本の直線が入ります。 $P$ 内部 (直線は $P$ で切断する弦を形成します) または $P$ 外部 (「割線セグメント」 $\overline{PA}$ と $\overline{PC}$ があり、外部部分は $\overline{PB}$ と $\overline{PD}$ です) の 2 つのケースがあります。
定理文字列と割線
どちらの場合も、
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD.$$- ロープ: 2 本のロープが互いに切断した場合、一方の部分の積はもう一方の部分の積と等しくなります。
- セカント: 外部点から 2 つのセカント セグメントを実行する場合、それぞれの外部部分の積は同じになります。
デモンストレーション。 三角形 $PAD$ と $PCB$ では、$P$ の角度は共通 (または o.p.v.) であり、$\hat{A} \equiv \hat{C}$ (同じ円弧を見る碑文 $\overset{\frown}{BD}$) です。 AA の場合、$\triangle PAD \sim \triangle PCB$、つまり $\dfrac{PA}{PC} = \dfrac{PD}{PB}$、つまり $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ になります。
定義ポイントの力
$P$ と円周が決まれば、積 $PA \cdot PB$ は $P$ を通過するどの 弦(またはセカント)でも同じになります。この数値は$P$ の円周に対する累乗です。 $P$ が外部、$\overline{PT}$ が接線の場合 (三角形 $PAT$ と $PTB$ は相似です):
$$PA \cdot PB = PC \cdot PD = \cdots = PT^2.$$半径 $r$ と距離 $d = PO$ に換算すると、パワーは $|d^2 - r^2|$ に相当します (演習 499)。
