2000 年近くの間、幾何学と代数は別々に暮らしていました。ギリシアの幾何学は定規とコンパスと図形を使い、アラブ世界を経てヨーロッパに伝わった代数は方程式を使いました。17 世紀のはじめ、二人の人物が同時に、相談することもなく、両者を結びつけるというアイデアを思いつきました。ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーです。

一つの分野を生んだ一文

1636 年ごろ、フェルマーはラテン語で短い文章『平面および立体の軌跡への序論』を書きました。「軌跡」とは、ある条件を満たす点の集合を指すギリシア人の言葉です。たとえば円は、中心から一定の距離にある点の軌跡です。冒頭で、フェルマーはこう書いています。

最終的な方程式に二つの未知量が現れるときはいつでも、軌跡が得られ、そのうち一方の端点が直線または曲線を描く。

— フェルマー『平面および立体の軌跡への序論』

言いかえれば、二つの未知数をもつ方程式は曲線だということです。解 $(x,y)$ の一つ一つが点で、すべての解を合わせると一枚の絵になります。

直線

フェルマーはヴィエトの流儀で、未知数には母音、既知数には子音を使いました。直線は 「D in A aequetur B in E」 と書かれ、今日の記号では

$$D\cdot x=B\cdot y.$$

$y$ について解くと $y=\dfrac DB\,x$。原点を通り、傾きが $\dfrac DB$ の直線です。フェルマーは、$x$ と $y$ についてのすべての 1 次方程式は直線を表し、すべての 2 次方程式は円錐曲線（放物線、楕円、双曲線、円）を表すことを示しました。

放物線

座標が次の式を満たす点を考えましょう。

$$y=x^2.$$

$x=-2$ なら $y=4$、$x=0$ なら $y=0$、$x=2$ なら $y=4$。たくさんの点を打つと、放物線が現れます。方程式は表を作るだけのものではありません。絵を描かなくても、ある点が曲線の上にあるかどうかを教えてくれます。点 $(3,9)$ は上にあります。$9=3^2$ だからです。点 $(2,5)$ はありません。$5\neq2^2$ だからです。

二つの曲線の交点

大きな利点が現れるのは、二つの図形がどこで交わるかを知りたいときです。定規とコンパスでは、これはとても難しいことがあります。方程式なら、点が両方の式を同時に満たすことを求めればよいのです。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x+3$ はどこで交わるでしょう？ 等しいとおくと、

$$x^2=2x+3\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-2x-3=0\quad\Longleftrightarrow\quad(x-3)(x+1)=0.$$

解は $x=3$ と $x=-1$ で、交点は $(3,9)$ と $(-1,1)$ です。幾何の問題が 2 次方程式になりました。

何が変わったのか

解析幾何学によって、どんな曲線も代数で調べられ、どんな方程式も絵として見られるようになりました。これが微積分への第一歩でした。曲線の接線や曲線の下の面積について語るには、まず曲線を方程式で書く必要があったのです。フェルマーはまもなく次の一歩を踏み出しました。極大・極小の方法です。

この物語のもう半分は、デカルトのシリーズと比べてみてください。

練習：放物線 y = x² と直線 y = 4 はどこで交わるか？

$x^2=4$ より $x=2$ または $x=-2$。交点は $(2,4)$ と $(-2,4)$。

練習：直線 y = 2x − 1 は放物線 y = x² といくつの点で接するか？

$x^2=2x-1$ より $x^2-2x+1=(x-1)^2=0$。解は $x=1$ だけで、直線は放物線とただ一点 $(1,1)$ で接します。これがその点での放物線の接線です。

資料： フェルマーの伝記、MacTutor。

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