Euler's Eyes
2026-10-10
数学の歴史
17 / 191 ページ
記号の法則
多項式は正の根をいくつ持つことができますか?デカルトは次のような簡単な規則を与えました。 根の数 正の値は最大でも連続する係数間の符号変化の数です (そして、証明されたように、 偶数だけ異なります)。
$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$でご覧ください。係数の符号は $+\ -\ +\ -$: 3 つの変化です。それで、あります 3 または 1 の正の根。実際には、
$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$
ルートは 1、2、3 です。
負の根の場合は、$x$ を $-x$ に変更して再度カウントします。 $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$。兆候はすべて否定的です: なし 交換、マイナスルートはありません。
別の例: $x^3 + x - 2$ では、$+\ +\ -$ 信号の交換は 1 つだけです。違いはどうあるべきか さらに、 正の根はちょうど 1 つあり、$x = 1$ を見つけるのは簡単です。
以下の 3 つの多項式でルールをテストします。金色の矢印は各信号の変化を示します。