指数という概念は、別の入門力の投稿で述べたように、量を研究するときに非常に大きな数を得たアルキメデスに始まりました。この記事では、負の指数の累乗について説明します。

負の指数

このサイトでは、整数の指数を使用した累乗について説明しますが、負の指数については説明しません。これは、結果がコンテキストの一部であった有理数であるためです。

グラフィコのガリレオ。

べき乗の底は任意の数値にすることができます。この記事では有理数を使用します。

$$\mathbb{Q} = \left\\{\dots, -3, -\dfrac{5}{2},-2, -\dfrac{3}{2} ,-1, -\dfrac{1}{2},0 , \dfrac{1}{2} , 1, \dfrac{3}{2} , 2, \dfrac{5}{2} , 3, \dots\right\\}$$

この文脈における指数は整数です。

$$\mathbb{Z} = \\{\dots, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \dots\\}$$

10の力

たとえば、10 の累乗で数値を入力してみましょう。

10の力 等しい 10 の複数表現
$10^{-1}$ $=$ $\dfrac{1}{10}=0.1$
$10^{-2}$ $=$ $\dfrac{1}{100}=0.01$
$10^{-3}$ $=$ $\dfrac{1}{1000}=0.001$
$10^{-4}$ $=$ $\dfrac{1}{10000}=0.0001$
$10^{-5}$ $=$ $\dfrac{1}{100000}=0.00001$
$10^{-6}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000}=0.000001$
$10^{-7}$ $=$ $\dfrac{1}{10000000}=0.0000001$
$10^{-8}$ $=$ $\dfrac{1}{100000000}=0.00000001$
$10^{-9}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000000}=0.000000001$
$10^{10}$ $=$ $\dfrac{1}{10000000000}=0.0000000001$
$10^{11}$ $=$ $\dfrac{1}{100000000000}=0.00000000001$
$10^{12}$ $=$ $\dfrac{1}{1000000000000}=0.000000000001$

結果はどうやって得られるのでしょうか？

スケールを覚えておいてください。こちらです。この方法を使ってみましょう。

グラフィコのガリレオ。
$$ \begin{aligned} 10^{-1} &= \color{red}{10^1} ~.~\dfrac{10^{-1} }{\color{red}{10^1} }\\ &= \dfrac{10^{1-1} }{10 }\\ &= \dfrac{10^{0} }{10 }\\ &= \dfrac{1 }{10 }\\ \end{aligned} $$

2の力

10 のパワー概念を使用して、基本パワー 2 について説明できるようになりました。

$$ \begin{aligned} 2^{-2} &= \color{red}{2^2} ~.~\dfrac{2^{-2} }{\color{red}{2^2} }\\ &= \dfrac{2^{2-2} }{2^2 }\\ &= \dfrac{1 }{2^2 }\\ &= \dfrac{1 }{4 }\\ \end{aligned} $$
2の力 等しい 結果
$2^{-1}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{1}}=0.5$
$2^{-2}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{2}}=0.25$
$2^{-3}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{3}}=0.125$
$2^{-4}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{4}}=0.0625$
$2^{-5}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{5}}=0.03125$
$2^{-6}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{6}}=0.015625$
$2^{-7}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{7}}=0.0078125$
$2^{-8}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{8}}=0.00390625$
$2^{-9}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{9}}=0.001953125$
$2^{-10}$ $=$ $\dfrac{1}{2^{10}}=0.0009765625$

増強特性

最初の性質は 2 つのべき乗の乗算です。

累乗の乗算

$$\text{base}^m ~.~ \text{base}^n = \text{base}^{m+n}$$

例: $2^4 ~.~ 2^5.$ を計算します。

$$2^4 ~.~ 2^5 = 2^{4+5} = 2^9$$

その物件には価値があるのか​​？

最初にベースを $a$ と呼びます。

$$ \begin{aligned} a^m ~.~a^n &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } = \\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} }\\ &= a^{m+n} \end{aligned} $$

今、逆数

$$ \begin{aligned} a^{m+n} &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m+n \text{ vezes} } = \\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m \text{ vezes} }~.~\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } \\ &= a^{m} ~.~ a^{n} \end{aligned} $$

2 番目の特性は 2 つのべき乗の乗算です。

権限の分割

$$\dfrac{\text{base}^a }{\text{base}^b} = \text{base}^{a-b}$$

例: $\dfrac{10^5}{10^2}$ を計算します。

$$\dfrac{10^5}{10^2} = 10^{5-2} = 10^3$$

次に、このプロパティを表示しましょう。

$$ \begin{aligned} \frac{a^m}{a^n} &= \dfrac{\underbrace{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } ~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} } }_{\color{red}{n} + m - \color{red}{n} ~=~ m} }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }\\ &= \dfrac{ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }{\underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{n \text{ vezes} } }~.~ \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\ &= \underbrace{(a~.~a~.~ \dots ~.~a)}_{m-n \text{ vezes} }\\ &= a^{m-n} \end{aligned} $$

逆は練習として残しておきます。

このプロパティを使用するには、ベースが同じである必要があることを覚えておく価値があります。

例: $\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3}$ を計算します。

計算では、このプロパティは同じ基数を持つべき乗に対してのみ使用されます。実際には、

$$\dfrac{10^8 ~.~ 3^2}{3 ~.~10^3} = 10^{8-3} ~.~ 3^{2-1} = 10^5 ~.~3 $$

べき乗の底の反転

$$\left(\dfrac{\text{base 1} }{\text{base 2} }\right)^{-a} = \left(\dfrac{\text{base 2} }{\text{base 1} }\right)^{a}$$

例: $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}$ を表示します。

$$ \begin{aligned} \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} &\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{3^{-2} }{2^{-2} } ~.~ \underbrace{\color{red}{\dfrac{3^{2} }{3^{2} } } }_{=1}\\ &= \dfrac{3^{2-2} }{2^{-2}~.~ 3^{2} }\\ &\overset{\text{balança} }{=} \dfrac{1 }{2^{-2}~.~ 3^{2} }~.~ \color{red}{\dfrac{2^{2} }{2^{2} } } \\ &= \dfrac{2^2 }{\underbrace{2^{2-2} }_{\color{red}{2^0=1} }~.~ 3^{2} }\\ &= \dfrac{2^2 }{3^{2} }\\ &= \left(\dfrac{2 }{3 }\right)^2\\ \end{aligned} $$

これらの概念がなければ対数について話すことはできないため、これらの概念は基本的なものです。次の投稿をお待ちください。