セグメントの正確な中央を見つけることは、ジオメトリで最も古く、最もよく使用される構成要素の 1 つです。

発見者

私たちが知っている最も古い構造はユークリッド (紀元前 300 頃) による原論 の命題 I.10 にあり、「与えられた有限の直線を半分に切る」というものです。 Euclid は、セグメント上に 正三角形 を上げ、上角を半分に分割し、合同な三角形によって、その分割がちょうど中央に位置することを証明します。ずっと後になって、 デンマークのゲオルク・ モール (1672) とイタリアのロレンツォ・ マスケローニ (1797) は、 定規を使わずにコンパスだけで中点を見つけることができることを示しました。

ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。
ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン
ロレンツォ・マスケローニ。
ロレンツォ・マスケローニ。フランチェスコ・サヴェリオ・レデンティ · ウィキメディア コモンズ · CC0

歴史

ユークリッドにとって、中点を見つけることは測定して2で割ることではなく、点を構築し、 それがセグメントを等しい部分に分割することを証明することでした。証明では以前の結果、正三角形 (I.1)、角の二等分線 (I.9)、および LAL の合同ケース (I.4) を使用します。これは、原論 連鎖命題がどのように行われるかを示す良い例です。

セグメントを半分に分割します。三角形と等号は中点の位置を揃えます。
セグメントを半分に分割します。三角形と等号は中点の位置を揃えます。ブログからのオリジナルの教訓的なイラスト。

マスケローニの著書「コンパスの幾何学」は、幾何学が好きだったナポレオン・ボナパルトに捧げられました。コンパスだけで円を4つの等しい円弧に分割するという課題は、「ナポレオンの問題」として知られるようになりました。

日常生活での応用

  • 絵を掛けます 壁またはその下の家具の幅の中間点に釘を打ちます。
  • 半分に折ります シーツ、ナプキン、またはタオルを折りたたむと、測定せずに中間点が見つかります。
  • 道の真ん中で会う 別々の都市を出発し、同じ距離を歩きたい二人が道の中間点を探します。
  • シーソー サポートがボードの中央にあるため、上に人がいなくてもバランスが保たれます。

出典: 要素、命題 I.10 · Mascheroni (MacTutor) · Mohr (MacTutor)。

理論と作図

定義中間点

$M$ が $A$ と $B$ および $\overline{AM} \equiv \overline{MB}$ の間にある場合に限り、点 $M$ は線分 $\overline{AB}$ の中点になります。

$M$ は、$\overline{AB}$: $M \in \overline{AB}$ と $\overline{MA} \equiv \overline{MB}$ の中点です。

定理中間点の一意性

セグメントには単一の中点があります。

デモンストレーション（不条理による）

  1. $X$ と $Y$ は別個で、両方とも $\overline{AB}$ の中点であると仮定します。次に$AX = XB$(1)、$AY = YB$(2)となります。
  2. ケース 1: $X$ は $A$ と $Y$ の間にあります。次に$AY > AX$、そして$Y$は$X$と$B$の間にあるので$XB > YB$となります。追加: $AY > AX = XB > YB$、つまり $AY > YB$ — (2) と矛盾します。
  3. ケース 2: $Y$ は $A$ と $X$ の間にあります。同様に、$AX > AY = YB > XB$、つまり $AX > XB$ は (1) と矛盾します。
  4. どちらの場合も不条理につながります。したがって、$\overline{AB}$ の中点は単一になります。

中間点の存在は、後ほど垂直二等分線の構築(6章)で証明されます。